условие

(log2⁡(x+4,2)+2)(log2⁡(x+4,2)−3)≥0

шаг 1.Область допустимых значений

Аргумент логарифма положителен.

ОДЗ
x+4,2>0
x>−4,2

шаг 2.Делаем замену

Обозначим u = log₂(x + 4,2). Произведение уже разложено на множители.

u=log2⁡(x+4,2)
(u+2)(u−3)≥0

шаг 3.Метод интервалов в u

Корни u = −2 и u = 3 — закрашены (нестрогое ≥). Решение: u ≤ −2 или u ≥ 3.

+−+2−3
−∞
+∞
u

шаг 4.Обратная замена

Основание 2 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция y=loga⁡x монотонна при x>0. При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: loga⁡A≶loga⁡B⟺A≶B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, loga⁡A≤loga⁡B⟺A≥B.
Число c превращаем в логарифм того же основания: c=loga⁡ac — тогда сравниваем аргументы (не забывая A>0).
. С учётом ОДЗ x > −4,2.
1)log2⁡(x+4,2)≤−2
log2⁡(x+4,2)≤log2⁡14
x+4,2≤14
−4,2<x≤−3,95
2)log2⁡(x+4,2)≥3
log2⁡(x+4,2)≥log2⁡8
x+4,2≥8
x≥3,8
ответ4,2−3,95−3,8
−∞
+∞
x

−2 = log₂(1/4) и 3 = log₂ 8 — правую часть записываем логарифмом того же основания, затем снимаем логарифм. 1/4 − 4,2 = −3,95; 8 − 4,2 = 3,8.

ответ

x∈(−4,2;−3,95]∪[3,8;+∞)