Задача 10150830 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

2 \log_{4} (3 x^{2} + 2) \geq \log_{2} (2 x^{2} + 5 x + 2)

шаг 1.Область допустимых значений

Оба аргумента логарифмов положительны. Левый 3x² + 2 ≥ 2 > 0 при любом x — ограничения не даёт. Правый — квадратный трёхчлен 2x² + 5x + 2; через дискриминант раскладываем на (2x + 1)(x + 2). Метод интервалов прямо на произведении: корни −2 и −1/2 выколоты, знаки чередуются.

ОДЗ

3 x^{2} + 2 > 0

выполнено всегда

2 x^{2} + 5 x + 2 > 0

(2 x + 1) (x + 2) > 0

x < - 2 или x > - \frac{1}{2}

Дискриминант 2x² + 5x + 2: D = 25 − 16 = 9, корни x = (−5 ± 3)/4 = −1/2 и −2. Разложение: 2(x + 2)(x + 1/2) = (x + 2)(2x + 1).

шаг 2.Приводим к основанию 2 и снимаем логарифм

Левый логарифм приводим к основанию 2 (формула перехода к новому основанию степени). Основание логарифма 2 > 1, функция возрастает — снимаем логарифм с обеих частей, знак сохраняется. Переносим всё в левую часть, выносим общий множитель x.

2 \log_{4} (3 x^{2} + 2) = 2 \log_{2^{2}} (3 x^{2} + 2) = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_{2} (3 x^{2} + 2) =

= \log_{2} (3 x^{2} + 2)

\log_{2} (3 x^{2} + 2) \geq \log_{2} (2 x^{2} + 5 x + 2)

3 x^{2} + 2 \geq 2 x^{2} + 5 x + 2

x^{2} - 5 x \geq 0

x (x - 5) \geq 0

Основание степени 4 = 2².

шаг 3.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Метод интервалов на x(x − 5) ≥ 0: корни 0 и 5 закрашены (нестрогое ≥). Пересекаем с ОДЗ x < −2 или x > −1/2.

Знак крайнего правого интервала (5; +∞) проверяем пробной точкой x = 6: 6 · 1 = 6 > 0 — плюс. Знаки чередуются через 0 и 5.

ответ

x \in (- \infty; - 2) \cup (- \frac{1}{2}; 0] \cup [5; + \infty)

$2 \log_{9} (4 x^{2} + 1) \geq \log_{3} (3 x^{2} + 4 x + 1)$