условие
шаг 1.Область допустимых значений
Оба аргумента логарифмов положительны. Дробь (x + 3)/(x − 2,5) > 0 решаем методом интервалов: на оси отмечаем корень числителя x = −3 и точку разрыва знаменателя x = 2,5 (обе выколоты), знаки на интервалах чередуются. Квадрат (x − 2,5)² > 0 равносилен x ≠ 2,5 — эта выколотая точка уже стоит в I условии.
ОДЗ
Знак среднего интервала проверяем пробной точкой x = 0: (0 + 3)/(0 − 2,5) = 3/(−2,5) < 0 — минус. На крайних интервалах знаки чередуются.
шаг 2.Свёртка и снятие логарифма
Заносим коэффициент 2 в показатель степени первого логарифма. Сворачиваем сумму логарифмов в логарифм произведения, сокращаем (x − 2,5)². Дальше потенцирование: 2 = log₃ 3² = log₃ 9; основание логарифма 3 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства
.
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем логарифм. Из чётной степени переходим к модулю и раскрываем его совокупностьюРаскрытие неравенств с модулем| f | ≥ a (a ≥ 0)
«два хвоста» — совокупность
| f | ≥ a ⟺ [f ≥ af ≤ −a
Смысл: модуль ≥ числа — f вне отрезка [−a; a]. Либо в +∞, либо в −∞. [ — прямоугольная скобка = ИЛИ (достаточно одной ветви из двух).
| f | ≤ a (a ≥ 0)
отрезок [−a; a] — три записи
1−a ≤ f ≤ a
2{f ≤ af ≥ −a
3[0 ≤ f ≤ a−a ≤ f < 0
Смысл: модуль ≤ числа — f внутри [−a; a].
1 двойное неравенство.
2 тут { — фигурная скобка = И (выполняются одновременно) исключает случаи когда f = −20, a = 5. |−20| ≤ 5 — ложь, но строка f ≤ a (−20 ≤ 5 — истина) пропустит неправильный ответ. Либо фигурная скобка, либо 3.
3 Корректная запись для [ — прямоугольной скобки.
1 двойное неравенство.
2 тут { — фигурная скобка = И (выполняются одновременно) исключает случаи когда f = −20, a = 5. |−20| ≤ 5 — ложь, но строка f ≤ a (−20 ≤ 5 — истина) пропустит неправильный ответ. Либо фигурная скобка, либо 3.
3 Корректная запись для [ — прямоугольной скобки.
Сокращение (x − 2,5)² допустимо: x = 2,5 уже исключено ОДЗ — корень не теряем.
Здесь работают свойства логарифма: коэффициент 2 уходит в показатель квадратом, сумма логарифмов сворачивается в произведение, а из чётной степени выходим с модулем — каждый переход сверяем с ОДЗ.Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Пересечение с ОДЗ
Решение x ≤ −6 или x ≥ 0 пересекаем с ОДЗ x < −3 или x > 2,5. Луч x ≤ −6 целиком в левой ветви ОДЗ. Из x ≥ 0 проходит только x > 2,5 — промежуток [0; 2,5] в ОДЗ не попадает.