условие
шаг 1.Область допустимых значений
Оба аргумента логарифмов положительны. Раскладываем разность квадратов x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Произведение (x − 3)(x + 3) > 0 решаем методом интервалов: корни ±3 выколоты, знаки чередуются. Дробь (x + 3)/(x − 3) > 0 решаем методом интервалов: корень числителя x = −3 и точка разрыва знаменателя x = 3 (обе выколоты), знаки те же.
Знак среднего интервала проверяем пробной точкой x = 0: для I — (0 − 3)(0 + 3) = −9 < 0; для II — (0 + 3)/(0 − 3) = −1 < 0. На крайних интервалах знаки чередуются.
шаг 2.Свёртка и снятие логарифма
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Сокращение (x + 3) допустимо: x = −3 уже исключено ОДЗ — корень не теряем.
шаг 3.Приведение к общему знаменателю
Переносим 9 в левую часть и приводим к общему знаменателю (x + 3)².
шаг 4.Разложение числителя на множители
Числитель — разность квадратов: (x − 3)⁴ = ((x − 3)²)² и 9(x + 3)² = (3(x + 3))². Раскладываем, раскрываем скобки. Первый множитель x² − 9x = x(x − 9). Второй x² − 3x + 18 корней не даёт: D = 9 − 72 < 0.
Множитель x² − 3x + 18 > 0 при любом x — отбрасываем без смены знака. Знаменатель (x + 3)² оставляем: на нём — точка разрыва x = −3 чётной кратности.
шаг 5.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
Метод интервалов на дроби x(x − 9)/(x + 3)² > 0: корни числителя 0 и 9 выколоты (строгое), точка разрыва знаменателя x = −3 — чётной кратности 2, ставим петельку, знак через неё не меняется.