условие
шаг 1.Область допустимых значений
Под внешними логарифмами аргументы положительны: нужно −log₂x > 0 и log₂²x > 0. Решаем каждое условие на своей оси и пересекаем.
ОДЗ
Первое условие: −log₂x > 0 ⟺ log₂x < 0 ⟺ 0 < x < 1. Второе: log₂²x — чётная степень, обращается в ноль лишь при log₂x = 0, то есть при x = 1 (петелька, знак не меняется), поэтому log₂²x > 0 ⟺ x ≠ 1. На (0; 1) это уже выполнено — пересечение даёт (0; 1).Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 2.Вводим замену
Во втором слагаемом log₂x < 0, поэтому под квадратом заменяем основание на −log₂x и выносим показатель степени за логарифмПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Оба слагаемых выражаются через t = log₂(−log₂x); эта величина принимает любые значения., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Решаем неравенство относительно t
Переносим всё влево и раскладываем квадратный трёхчлен на множители.
Корни t² + 2t − 3 = 0 по теореме Виета: сумма −2, произведение −3, отсюда t = −3 и t = 1. Парабола ветвями вверх, поэтому ≤ 0 между корнями.
шаг 4.Обратная замена
Возвращаемся к x. Основание 2 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем его, знак сохраняется. Затем при умножении двойного неравенства на −1 знаки переворачиваются, и снимаем второй логарифм.При умножении двойного неравенства 1/8 ≤ −log₂x ≤ 2 на −1 знаки переворачиваются и крайние выражения меняются местами: −2 ≤ log₂x ≤ −1/8. Полученный отрезок целиком лежит в ОДЗ 0 < x < 1.