условие

2x2+2x−10≥(33+128−1)x

шаг 1.Упрощаем основание степени

Заметим, что 33 + √128 — полный квадрат, поэтому корень из него извлекается, и основание степени справа сводится к степени двойки. Корень слева тоже записываем степенью двойки.

128=82
33+82=(1+42)2
33+82=1+42
33+128−1=42=25/2
2x2+2x−102≥(25/2)x
2x2+2x−102≥25x2

шаг 2.Сравниваем показатели степени

Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция y=ax монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
a > 1: возрастает 0 1 x₁ ax₁ x₂ ax₂
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
0 < a < 1: убывает 0 1 x₁ ax₁ x₂ ax₂
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: aA≤aB⟺A≤B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: aA≤aB⟺A≥B (знак переворачивается).
— знак неравенства сохраняется, сравниваем показатели степени.
x2+2x−102≥5x2
x2−3x−10≥0
(x−5)(x+2)≥0

По теореме Виета: для x² − 3x − 10 сумма корней должна равняться 3, произведение — −10. Подходят 5 и −2: 5 + (−2) = 3 и 5·(−2) = −10.

шаг 3.Метод интервалов в x

Парабола ветвями вверх: ≥ 0 вне корней. Корни x = −2, x = 5 — закрашены (нестрогое ≥).

+−+2−5
−∞
+∞
x

ответ

x∈(−∞;−2]∪[5;+∞)