Задача 10150762 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{4^{x^{2}} - 16 \cdot 2^{x^{2}} + 64} \leq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль. Так как 4ˣ² = (2ˣ²)², знаменатель сворачивается в полный квадрат 4ˣ² − 16·2ˣ² + 64 = (2ˣ² − 8)², поэтому достаточно потребовать 2ˣ² ≠ 8 = 2³. Функция 2ᵗ строго возрастает (основание степени 2 > 1), поэтому условие 2ˣ² ≠ 2³ переходит в x² ≠ 3.

ОДЗ

4^{x^{2}} - 16 \cdot 2^{x^{2}} + 64 \neq 0

{(2^{x^{2}})}^{2} - 16 \cdot 2^{x^{2}} + 64 \neq 0

{(2^{x^{2}} - 8)}^{2} \neq 0

2^{x^{2}} \neq 8

2^{x^{2}} \neq 2^{3}

x^{2} \neq 3

x \neq \pm \sqrt{3}

шаг 2.Раскладываем на множители

Числитель раскладываем группировкой; знаменатель уже свёрнут в полный квадрат (2ˣ² − 8)².

x^{3} - x^{2} - x + 1 = x^{2} (x - 1) - (x - 1) =

= (x - 1) (x^{2} - 1) = {(x - 1)}^{2} (x + 1)

\frac{{(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(2^{x^{2}} - 8)}^{2}} \leq 0

Группировка: x³ − x² = x²(x − 1), −x + 1 = −(x − 1) — общий множитель (x − 1); затем x² − 1 = (x − 1)(x + 1).

шаг 3.Метод интервалов в x

Числитель (x − 1)²(x + 1) — многочлен, знаменатель (2ˣ² − 8)² — квадрат разности степеней одного основания (2ˣ² − 2³); к дроби применим метод интервалов.

Знаменатель (2ˣ² − 8)² > 0 — знак дроби равен знаку числителя (x − 1)²(x + 1). Корень x = 1 чётной кратности — петелька (закрашена изолированной точкой); x = −1 — закрашен (нестрогое ≤). Точки x = ±√3 — выколоты по ОДЗ.

Пробная точка x = −2: (−2 − 1)²(−2 + 1)/(2⁴ − 8)² = 9·(−1)/64 < 0 → знак «−». Через петельки x = 1 и x = ±√3 знак не меняется.

ответ

x \in (- \infty; - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}; - 1] \cup {1}