Задача 10150761 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{2^{3 x} - 10 \cdot 2^{2 x} + 17 \cdot 2^{x} - 8}{x} \geq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль.

ОДЗ

x \neq 0

шаг 2.Раскладываем числитель

Числитель — кубический многочлен относительно 2ˣ, раскладываем его на множители.

2^{3 x} = {(2^{x})}^{3}

2^{2 x} = {(2^{x})}^{2}

{(2^{x})}^{3} - 10 {(2^{x})}^{2} + 17 \cdot 2^{x} - 8 =

= {(2^{x})}^{3} - {(2^{x})}^{2} - 9 {(2^{x})}^{2} + 9 \cdot 2^{x} + 8 \cdot 2^{x} - 8 =

= {(2^{x})}^{2} (2^{x} - 1) - 9 \cdot 2^{x} (2^{x} - 1) + 8 (2^{x} - 1) =

= (2^{x} - 1) ({(2^{x})}^{2} - 9 \cdot 2^{x} + 8) =

= (2^{x} - 1) (2^{x} - 1) (2^{x} - 8) =

= {(2^{x} - 1)}^{2} (2^{x} - 8)

\frac{{(2^{x} - 1)}^{2} (2^{x} - 8)}{x} \geq 0

Группировка: −10(2ˣ)² разбиваем на −(2ˣ)² − 9(2ˣ)², а 17·2ˣ на 9·2ˣ + 8·2ˣ — в каждой из трёх групп выносится (2ˣ − 1). Квадрат (2ˣ)² − 9·2ˣ + 8 = (2ˣ − 1)(2ˣ − 8) по Виета.

шаг 3.Корни числителя

Приравниваем каждый множитель к нулю и снимаем основание степени.

2^{x} - 1 = 0

2^{x} = 2^{0}

x = 0

2^{x} - 8 = 0

2^{x} = 2^{3}

x = 3

шаг 4.Метод интервалов в x

Множители 2ˣ − 1 и 2ˣ − 8 — разности степеней одного основания, x — многочлен; к их произведению и частному применим метод интервалов.

Точка x = 0 — общий ноль числителя (множитель (2ˣ − 1)²) и знаменателя: выколота по ОДЗ, суммарная кратность нечётна — знак меняется. Корень 2ˣ − 8 = 0 даёт x = 3 — закрашен (нестрогое ≥); функция 2ˣ возрастает, поэтому через x = 3 знак тоже меняется.

В x = 0 числитель (2ˣ − 1)² имеет кратность 2, знаменатель x — кратность 1, суммарно 3 (нечётная) → знак меняется. Пробная точка x = −1: (2⁻¹ − 1)²(2⁻¹ − 8)/(−1) = 0,25·(−7,5)/(−1) > 0 → «+».

ответ

x \in (- \infty; 0) \cup [3; + \infty)

$\frac{2^{3 x} - 2 \cdot 4^{x + 1} + 5 \cdot 2^{x + 2} - 16}{x - 1} \geq 0$