Задача 10150759 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{2^{3 x} - 2 \cdot 4^{x + 1} + 5 \cdot 2^{x + 2} - 16}{x - 1} \geq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль.

ОДЗ

x - 1 \neq 0

x \neq 1

шаг 2.Раскладываем числитель

Каждое слагаемое числителя приводим к степеням 2ˣ — получается кубический многочлен относительно 2ˣ, раскладываем его на множители.

2^{3 x} = {(2^{x})}^{3}

2 \cdot 4^{x + 1} = 2 \cdot 4 \cdot 4^{x} = 8 {(2^{x})}^{2}

5 \cdot 2^{x + 2} = 5 \cdot 4 \cdot 2^{x} = 20 \cdot 2^{x}

{(2^{x})}^{3} - 8 {(2^{x})}^{2} + 20 \cdot 2^{x} - 16 =

= {(2^{x})}^{3} - 2 {(2^{x})}^{2} - 6 {(2^{x})}^{2} + 12 \cdot 2^{x} + 8 \cdot 2^{x} - 16 =

= {(2^{x})}^{2} (2^{x} - 2) - 6 \cdot 2^{x} (2^{x} - 2) + 8 (2^{x} - 2) =

= (2^{x} - 2) ({(2^{x})}^{2} - 6 \cdot 2^{x} + 8) =

= (2^{x} - 2) (2^{x} - 2) (2^{x} - 4) =

= {(2^{x} - 2)}^{2} (2^{x} - 4)

\frac{{(2^{x} - 2)}^{2} (2^{x} - 4)}{x - 1} \geq 0

Группировка: −8(2ˣ)² разбиваем на −2(2ˣ)² − 6(2ˣ)², а 20·2ˣ на 12·2ˣ + 8·2ˣ — в каждой из трёх групп выносится (2ˣ − 2). Квадрат (2ˣ)² − 6·2ˣ + 8 = (2ˣ − 2)(2ˣ − 4) по Виета.

шаг 3.Корни числителя

Приравниваем каждый множитель к нулю и снимаем основание степени.

2^{x} - 2 = 0

2^{x} = 2^{1}

x = 1

2^{x} - 4 = 0

2^{x} = 2^{2}

x = 2

шаг 4.Метод интервалов в x

Множители 2ˣ − 2 и 2ˣ − 4 — разности степеней одного основания, x − 1 — многочлен; к их произведению и частному применим метод интервалов.

Точка x = 1 — общий ноль числителя (множитель (2ˣ − 2)²) и знаменателя: выколота по ОДЗ, суммарная кратность нечётна — знак меняется. Корень 2ˣ − 4 = 0 даёт x = 2 — закрашен (нестрогое ≥); функция 2ˣ возрастает, поэтому через x = 2 знак тоже меняется.

В x = 1 числитель (2ˣ − 2)² имеет кратность 2, знаменатель x − 1 — кратность 1, суммарно 3 (нечётная) → знак меняется. Пробная точка x = 0: (2⁰ − 2)²(2⁰ − 4)/(0 − 1) = 1·(−3)/(−1) = 3 > 0 → «+».

ответ

x \in (- \infty; 1) \cup [2; + \infty)

$\frac{2^{3 x} - 10 \cdot 2^{2 x} + 17 \cdot 2^{x} - 8}{x} \geq 0$