Задача 10150752 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{9^{x - 1}}{9^{x - 1} - 1} - \frac{5}{9^{x} - 1} \geq \frac{36}{81^{x} - 10 \cdot 9^{x} + 9}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль. Третий знаменатель — квадратный трёхчлен относительно 9ˣ (81ˣ = (9ˣ)²), раскладываем его на скобки.

ОДЗ

81^{x} - 10 \cdot 9^{x} + 9 \neq 0

{(9^{x})}^{2} - 10 \cdot 9^{x} + 9 \neq 0

(9^{x} - 1) (9^{x} - 9) \neq 0

{\begin{matrix} 9^{x} \neq 1 \\ 9^{x} \neq 9 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq 1 \end{matrix}

По теореме Виета (сумма корней 10, произведение 9) корни трёхчлена равны 1 и 9, поэтому 81ˣ − 10·9ˣ + 9 = (9ˣ − 1)(9ˣ − 9). Знаменатель 9ˣ⁻¹ − 1 даёт x ≠ 1, а 9ˣ − 1 — x ≠ 0; оба условия уже содержатся в третьем.

шаг 2.Замена и сведение к дроби

Вводим u = 9ˣ (u > 0, показательная функция всегда положительна). Каждую степень переписываем через u, первую дробь сокращаем на 1/9, знаменатели становятся u − 9, u − 1 и (u − 1)(u − 9). Приводим всё к одной дроби; числитель сворачивается в полный квадрат.

u = 9^{x}, u > 0

9^{x - 1} = \frac{9^{x}}{9} = \frac{u}{9}

81^{x} = {(9^{x})}^{2} = u^{2}

81^{x} - 10 \cdot 9^{x} + 9 = u^{2} - 10 u + 9 = (u - 1) (u - 9)

\frac{9^{x - 1}}{9^{x - 1} - 1} = \frac{\frac{u}{9}}{\frac{u}{9} - 1} = \frac{u}{u - 9}

\frac{u}{u - 9} - \frac{5}{u - 1} \geq \frac{36}{(u - 1) (u - 9)}

\frac{u}{u - 9} - \frac{5}{u - 1} - \frac{36}{(u - 1) (u - 9)} \geq 0

\frac{u (u - 1) - 5 (u - 9) - 36}{(u - 1) (u - 9)} \geq 0

\frac{u^{2} - 6 u + 9}{(u - 1) (u - 9)} \geq 0

\frac{{(u - 3)}^{2}}{(u - 1) (u - 9)} \geq 0

Числитель u(u − 1) − 5(u − 9) − 36 = u² − 6u + 9 = (u − 3)² — полный квадрат.

шаг 3.Метод интервалов в u

Корень числителя: u = 3 — чётной кратности 2 (квадрат), ставим петельку: знак через точку не меняется. При нестрогом ≥ числитель при u = 3 обнуляется → точка закрашена, входит в ответ изолированной. Точки разрыва знаменателя: u = 1 и u = 9 — выколоты. Решение неравенства: (−∞; 1) ∪ {3} ∪ (9; +∞). Условие замены u > 0 отсекает левый луч — остаётся (0; 1) ∪ {3} ∪ (9; +∞).

Пробная точка u = 2 ∈ (1; 3): (2 − 3)²/((2 − 1)(2 − 9)) = 1/(−7) < 0 → знак «−». Через петельку при u = 3 знак не меняется (чётная кратность).

шаг 4.Обратная замена

Подставляем u = 9ˣ. Основание степени 9 > 1, возрастает — сравниваем показатели степени. Границы 1, 3 и 9 — степени девятки: 1 = 9⁰, 3 = 9^(1/2), 9 = 9¹.

1) 0 < 9^{x} < 1 или 9^{x} = 3

9^{x} < 9^{0} \Rightarrow x < 0

9^{x} = 9^{\frac{1}{2}} \Rightarrow x = \frac{1}{2}

2) 9^{x} > 9 = 9^{1}

x > 1

9ˣ = 3 ⟺ 3²ˣ = 3 ⟺ x = 1/2. Точка x = 1/2 — изолированное решение.

ответ

x \in (- \infty; 0) \cup {\frac{1}{2}} \cup (1; + \infty)

$\frac{2 \cdot 4^{x - 2}}{2 \cdot 4^{x - 2} - 1} \geq \frac{7}{4^{x} - 8} + \frac{40}{16^{x} - 9 \cdot 4^{x} + 8}$