шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель 5ˣ − 1 не обращается в нуль (25ˣ + 5ˣ + 1 > 0 всегда).

1 = 5⁰, поэтому 5ˣ = 1 даёт x = 0.

шаг 2.Делаем замену

Пусть t = 5ˣ, t > 0. Числитель первой дроби 125ˣ − 1 = t³ − 1 раскладываем; множитель (t − 1) сокращается (значение t = 1, x = 0 уже исключено ОДЗ).

t³ − 1 = (t − 1)(t² + t + 1); знаменатель t² + t + 1 > 0 всегда.

шаг 3.Вторая замена

Обозначим w = t² + t + 1 (w > 0) — замена упрощает неравенство до квадратного. Домножаем на w > 0 и решаем методом интервалов: парабола ветвями вверх, между корнями ≤ 0.

2w² − 11w + 12: D = 121 − 96 = 25, корни (11 ± 5)/4 = 4 и 3/2.

шаг 4.Возврат к t

Двойное неравенство 3/2 ≤ t² + t + 1 ≤ 4 распадается на два. Каждое решаем методом интервалов (парабола ветвями вверх): 2t² + 2t − 1 ≥ 0 — вне корней (−1∓√3)/2; t² + t − 3 ≤ 0 — между корнями (−1∓√13)/2. Условие t > 0 отбрасывает отрицательные части; пересечение даёт промежуток для t.

Берём только положительные корни (по t > 0): отрицательные (−1−√3)/2 и (−1−√13)/2 отброшены.

шаг 5.Обратная замена

(√3 − 1)/2 ≈ 0,37 < 1 < (√13 − 1)/2 ≈ 1,30, поэтому x = 0 выкалывается.