условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель дроби не обращается в нуль. Записываем 0,5 = 2⁻¹ (значит 0,5ˣ = 2⁻ˣ) и 4 = 2², снимаем основание степениПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
ОДЗ
шаг 2.Делаем замену
Пусть t = 0,5ˣ, причём t > 0, так как показательная функция всегда положительна.
шаг 3.Сводим к одной дроби
t − 8 − (t² − 3t − 4) = −t² + 4t − 4 = −(t − 2)².
шаг 4.Метод интервалов в t
Числитель −(t − 2)² ≤ 0. Корень t = 2 чётной кратности → петелька, знак через точку не меняется; закрашен (нестрогое ≤, даёт изолированную точку). Точка разрыва знаменателя: t = 4 — выколота.
Пробная точка t = 5: −(5 − 2)²/(5 − 4) = −9 < 0 → знак «−». Через петельку при t = 2 знак не меняется.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 5.Обратная замена
Подставляем t = 0,5ˣ и записываем 0,5 = 2⁻¹, поэтому 0,5ˣ = 2⁻ˣ. Основание 2 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— снимаем основание степени; знак неравенства меняется при умножении показателя на −1.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Случай 1 — уравнение, даёт ровно одну точку x = −1 (изолированное решение); случай 2 — луч x < −2.