Задача 10150746 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{3 \cdot 2^{2 x} - 7 \cdot 2^{x + 1} + 11}{2^{x + 2} - 4^{x + 1}} \geq \frac{1}{2^{x + 1}}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль. Множитель 2ˣ⁺¹ > 0 всегда, поэтому из 2ˣ⁺² − 4ˣ⁺¹ = −4·2ˣ(2ˣ − 1) остаётся одно ограничение 2ˣ ≠ 1.

ОДЗ

2^{x + 2} - 4^{x + 1} \neq 0

4 \cdot 2^{x} - 4 \cdot {(2^{x})}^{2} \neq 0

- 4 \cdot 2^{x} (2^{x} - 1) \neq 0

2^{x} \neq 1

x \neq 0

1 = 2⁰, поэтому 2ˣ = 1 даёт x = 0.

шаг 2.Делаем замену

Вводим t = 2ˣ (t > 0, показательная функция всегда положительна). Каждую степень переписываем через t: числитель становится квадратным трёхчленом, знаменатель выносит −4t. Множитель t − 1 сокращается, а значение t = 1 (x = 0) уже исключено ОДЗ — корень не теряем.

t = 2^{x}, t > 0, \frac{1}{2^{x + 1}} = \frac{1}{2 t}

2^{2 x} = {(2^{x})}^{2} = t^{2}

2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x} = 2 t

2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x} = 4 t

4^{x + 1} = 4 \cdot {(2^{x})}^{2} = 4 t^{2}

3 \cdot 2^{2 x} - 7 \cdot 2^{x + 1} + 11 = 3 t^{2} - 14 t + 11 = (3 t - 11) (t - 1)

2^{x + 2} - 4^{x + 1} = 4 t - 4 t^{2} = - 4 t (t - 1)

\frac{(3 t - 11) (t - 1)}{- 4 t (t - 1)} = - \frac{3 t - 11}{4 t}

- \frac{3 t - 11}{4 t} \geq \frac{1}{2 t}

Числитель 3t² − 14t + 11: D = 196 − 132 = 64, корни (14 ± 8)/6 = 11/3 и 1, поэтому 3t² − 14t + 11 = (3t − 11)(t − 1).

шаг 3.Сводим к одной дроби

- \frac{3 t - 11}{4 t} - \frac{1}{2 t} \geq 0

\frac{- (3 t - 11) - 2}{4 t} \geq 0

\frac{9 - 3 t}{4 t} \geq 0

шаг 4.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 3 — закрашен (нестрогое ≥). Точка разрыва знаменателя: t = 0 — выколота. Знаки чередуются через простые корни; дробь ≥ 0 на (0; 3]. Точка t = 1 выколота по ОДЗ (сокращённый множитель, x = 0) — дробь там не определена, знак через неё не меняется. Итог: (0; 1) ∪ (1; 3].

Пробная точка t = 2 ∈ (1; 3): (9 − 3·2)/(4·2) = 3/8 > 0 — знак «+», что и нужно для ≥ 0. Через выколотую t = 1 (множитель сокращён) знак не меняется.

шаг 5.Обратная замена

Подставляем t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется. Нижняя граница 0 < 2ˣ выполнена автоматически, так как показательная функция всегда положительна. Точка t = 1 (x = 0) выколота.

0 < 2^{x} \leq 3, 2^{x} \neq 1

x \leq \log_{2} 3, x \neq 0

log₂3 ≈ 1,58.

ответ

x \in (- \infty; 0) \cup (0; \log_{2} 3]