условие
шаг 1.Область допустимых значений
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
шаг 2.Делаем замену
Вводим t = 2ˣ (t > 0, 2⁻ˣ = 1/t). Каждую степень переписываем через t, затем числитель и знаменатель домножаем на t > 0 — внутренние дроби исчезают.
шаг 3.Сводим к одной дроби
Переносим 1 влево и приводим к общему знаменателю t² − 64; числитель упрощается: 2t² − 68 − (t² − 64) = t² − 4. И числитель, и знаменатель — разности квадратов: знаменатель t² − 64 = t² − 8² = (t − 8)(t + 8), числитель t² − 4 = (t − 2)(t + 2) — по формуле a² − b² = (a − b)(a + b).
шаг 4.Метод интервалов в t
Корни числителя: t = −2 и t = 2 — закрашены (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: t = −8 и t = 8 — выколоты. Все корни простые, знаки чередуются. Решение неравенства: (−∞; −8) ∪ [−2; 2] ∪ (8; +∞). Условие замены t > 0 отсекает всю левую часть — после пересечения остаётся (0; 2] ∪ (8; +∞).
Пробная точка t = 3 ∈ (2; 8): (3 − 2)(3 + 2) / ((3 − 8)(3 + 8)) = 5/(−55) < 0 — знак «−»; через простые корни знаки чередуются.
шаг 5.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 2ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 2] выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 2ˣ ≤ 2.