условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель дроби не обращается в нуль.
36 не является степенью тройки, поэтому 3ˣ = 36 решается логарифмом: x = log₃36.
шаг 2.Делаем замену
Пусть t = 3ˣ, t > 0, так как показательная функция всегда положительна.
шаг 3.Сводим к одной дроби
По теореме Виета для t² − 36t + 243 = 0: сумма корней равна 36, произведение равно 243. Ищем два числа с такой суммой и произведением: это 27 и 9 (27 + 9 = 36 и 27 · 9 = 243). Значит t² − 36t + 243 = (t − 27)(t − 9).
шаг 4.Метод интервалов в t
Корни числителя: t = 9 и t = 27 — закрашены (нестрогое ≥). Точка разрыва знаменателя: t = 36 — выколота. Расставляем знаки на оси. Оба корня и точка разрыва положительны, всё решение лежит в области t > 0 — условие замены t = 3ˣ > 0 выполняется автоматически, отдельная ось пересечения не нужна.
Пробная точка t = 10 на интервале (9; 27): (10 − 27)(10 − 9)/(10 − 36) = (−17)(1)/(−26) > 0 → знак «+».
шаг 5.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 3ˣ положительна при любом x, а всё решение в t уже лежало в области t > 0, поэтому при обратной замене ничего не теряется.
log₃36 ≈ 3,26 — это число между 27 = 3³ и 81 = 3⁴, поэтому 3 < log₃36 < 4: выколотая граница правого луча стоит правее закрашенной тройки.