Задача 10150733 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{7}{2^{x} - 32} \geq \frac{1}{2^{x} - 8}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

ОДЗ

{\begin{matrix} 2^{x} \neq 32 = 2^{5} \\ 2^{x} \neq 8 = 2^{3} \end{matrix}

{\begin{matrix} x \neq 5 \\ x \neq 3 \end{matrix}

шаг 2.Делаем замену

Пусть t = 2ˣ, t > 0, так как показательная функция всегда положительна.

t = 2^{x}, t > 0

\frac{7}{t - 32} \geq \frac{1}{t - 8}

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{7}{t - 32} - \frac{1}{t - 8} \geq 0

\frac{7 (t - 8) - (t - 32)}{(t - 32) (t - 8)} \geq 0

\frac{7 t - 56 - t + 32}{(t - 32) (t - 8)} \geq 0

\frac{6 t - 24}{(t - 32) (t - 8)} \geq 0

\frac{6 (t - 4)}{(t - 32) (t - 8)} \geq 0

шаг 4.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 4 — закрашен (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: 8 и 32 — выколоты. Все корни положительны, поэтому условие замены t > 0 выполняется автоматически и отдельной прямой не требует.

Пробная точка t = 5 на (4; 8): числитель 6(5 − 4) > 0, множители (5 − 32) и (5 − 8) отрицательны → «+», дальше знаки чередуются.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

1) 2^{2} \leq 2^{x} < 2^{3}

2 \leq x < 3

2) 2^{x} > 2^{5}

x > 5

Граница x = 2 закрыта (t = 4 — корень числителя), точки x = 3 и x = 5 выколоты по ОДЗ.

ответ

x \in [2; 3) \cup (5; + \infty)