Задача 10150728 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

ОДЗ

{\begin{matrix} 3^{x} \neq 81 = 3^{4} \\ 3^{x} \neq 9 = 3^{2} \end{matrix}

{\begin{matrix} x \neq 4 \\ x \neq 2 \end{matrix}

шаг 2.Делаем замену

Пусть t = 3ˣ, t > 0, так как показательная функция всегда положительна.

t = 3^{x}, t > 0

\frac{13}{t - 81} \leq \frac{1}{t - 9}

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{13}{t - 81} - \frac{1}{t - 9} \leq 0

\frac{13 (t - 9) - (t - 81)}{(t - 81) (t - 9)} \leq 0

\frac{13 t - 117 - t + 81}{(t - 81) (t - 9)} \leq 0

\frac{12 t - 36}{(t - 81) (t - 9)} \leq 0

\frac{12 (t - 3)}{(t - 81) (t - 9)} \leq 0

шаг 4.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 3 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: 9 и 81 — выколоты. На (−∞; 3] дробь отрицательна и формально проходит ≤ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 3] ∪ (9; 81).

Пробная точка t = 5 на (3; 9): числитель 12(5 − 3) > 0, множители (5 − 81) и (5 − 9) отрицательны → «+», дальше знаки чередуются.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 3ˣ. Основание степени 3 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

Условие t > 0 отдельно не проверяем: t = 3ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница первого интервала (0; 3] выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 3ˣ ≤ 3.

1) 3^{x} \leq 3^{1}

x \leq 1

2) 3^{2} < 3^{x} < 3^{4}

2 < x < 4

Граница x = 1 закрыта (t = 3 — корень числителя), точки x = 2 и x = 4 выколоты по ОДЗ.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Делаем замену

шаг 3.Сводим к одной дроби

шаг 4.Метод интервалов в t

шаг 5.Обратная замена

ответ