Задача 10150724 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

4^{x + \sqrt{x^{2} - 2}} - 5 \cdot 2^{x - 1 + \sqrt{x^{2} - 2}} \geq 6

Подкоренное выражение неотрицательно.

ОДЗ

x^{2} - 2 \geq 0

x \leq - \sqrt{2} или x \geq \sqrt{2}

Введём новую переменную, обозначив степень с основанием 2 через m. Так как показательная функция всегда положительна, m > 0.

m = 2^{x + \sqrt{x^{2} - 2}}, 4^{x + \sqrt{x^{2} - 2}} = m^{2}

5 \cdot 2^{x - 1 + \sqrt{x^{2} - 2}} = \frac{5 m}{2}

m^{2} - \frac{5 m}{2} \geq 6

2 m^{2} - 5 m - 12 \geq 0

(m - 4) (2 m + 3) \geq 0

2m² − 5m − 12: D = 25 + 96 = 121, корни (5 ± 11)/4 = 4 и −3/2.

Так как m > 0, множитель 2m + 3 > 0 — остаётся m − 4 ≥ 0. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — сравниваем показатели степени.

m \geq 4

2^{x + \sqrt{x^{2} - 2}} \geq 2^{2}

x + \sqrt{x^{2} - 2} \geq 2

При x ≤ −√2: x + √(x²−2) < x + |x| = 0 < 2 — решений нет. При x ≥ √2 решаем √(x²−2) ≥ 2 − x.

если 2 - x < 0 (x > 2) : верно всегда

если \sqrt{2} \leq x \leq 2 : x^{2} - 2 \geq {(2 - x)}^{2} \Rightarrow x \geq \frac{3}{2}

x \geq \frac{3}{2}

x²−2 ≥ 4−4x+x² ⟺ 4x ≥ 6 ⟺ x ≥ 3/2; √2 ≈ 1,41 < 3/2.

x \in [\frac{3}{2}; + \infty)