условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель дроби не обращается в нуль.
ОДЗ
шаг 2.Делаем замену
Пусть t = 2⁷⁻ˣ², t > 0 (показательная функция всегда положительна). Тогда знаменатель 2⁷⁻ˣ² − 4 = t − 4, и всё неравенство выражается через t.
шаг 3.Сводим к одной дроби
Числитель: 28 + (t − 4) − 2(t − 4)² = −2t² + 17t − 8. Корни: D = 17² − 4·2·8 = 225 = 15², t = (17 ± 15)/4 = 8 и 1/2. Разложение −2(t − 8)(t − 1/2) = (2t − 1)(8 − t).
шаг 4.Метод интервалов в t
Корни числителя t = 1/2 и t = 8 закрашены (нестрогое ≥). Знаменатель даёт корень t = 4 чётной кратности — петелька: знак через него не меняется, точка выколота. Все интервалы решения лежат в t > 0, поэтому условие замены выполнено автоматически. Решение: 1/2 ≤ t < 4 и 4 < t ≤ 8.
Пробная точка t = 1 на (1/2; 4): (2·1 − 1)(8 − 1)/(1 − 4)² = 7/9 > 0 → «+». Через петельку при t = 4 знак сохраняется.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к x, подставляя t = 2⁷⁻ˣ². Условие t > 0 выполнено автоматически. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
— знак неравенства сохраняется.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
√5 ≈ 2,24; 2√2 ≈ 2,83. Объединяем 2 ≤ |x| ≤ 2√2 без точек ±√5 (выколоты по ОДЗ).