шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не обращается в нуль. Вводим t = 4ˣ и выражаем его степени через t.

Трёхчлен 4t² − 9t + 2 раскладываем через дискриминант: D = 81 − 32 = 49, корни (9 ± 7)/8 = 2 и 1/4 → (4t − 1)(t − 2). Затем 1/4 = 4⁻¹ → x = −1; 2 = 4^(1/2) → x = 1/2.

шаг 2.Делаем замену

Числитель выражаем через t: 4ˣ⁻⁰˙⁵ = t/2. Знаменатель уже разложили в ОДЗ — −(4t − 1)(t − 2). Подставляем в неравенство.

шаг 3.Сводим к одной дроби

−(t + 2) − (4t² − 9t + 2) = −4t² + 8t − 4 = −4(t − 1)²; после деления на 2 → −2(t − 1)².

шаг 4.Метод интервалов в t

Корень числителя −2(t − 1)²: t = 1 чётной кратности → петелька, знак через точку не меняется; закрашен (нестрогое ≤, даёт изолированную точку). Точки разрыва знаменателя: t = 1/4, t = 2 — выколоты. На (−∞; 1/4) дробь отрицательна и формально проходит ≤ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 1/4) ∪ {1} ∪ (2; +∞).

шаг 5.Обратная замена

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 4ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 1/4) выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 4ˣ < 1/4.

4ˣ = 1/4 ⟺ x = −1; 4ˣ = 2 ⟺ x = 1/2. Точка x = 0 — изолированное решение.