условие
шаг 1.Область допустимых значений
Первое подкоренное выражение — полный квадрат, неотрицательно при любом x. Ограничивает только второй корень: его подкоренное выражение должно быть неотрицательно. Сначала сводим показатели к одной степени 3ˣ, затем раскладываем на множители.
ОДЗ
шаг 2.Преобразуем подкоренные выражения
Сначала сводим показатели степеней к 2ˣ и 3ˣ. Первое подкоренное выражение — полный квадрат, под корнем даёт модуль. Второе раскладываем на множители.
шаг 3.Анализ суммы корней
Левая часть ≥ 0 (сумма модуля и корня), значит нужна неотрицательная правая часть: 2ˣ − 5 ≥ 0, т.е. x ≥ log₂5. Тогда |2ˣ − 5| = 2ˣ − 5, и неравенство упрощается.
шаг 4.Корень равен нулю
Неотрицательный корень не превосходит нуля только при равенстве нулю. Произведение под корнем равно нулю, когда один из множителей нулевой; основание степени 3 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
, поэтому каждое уравнение 3ˣ = c даёт ровно один корень.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
log₂5 ≈ 2,32; x = 0 не подходит, log₃17 ≈ 2,58 — подходит.