Задача 10150706 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\sqrt{2 \cdot 4^{x} - 17 \cdot 2^{x} + 8} \geq 2^{x} - 8

Подкоренное выражение неотрицательно. После замены t = 2ˣ оно раскладывается на множители.

ОДЗ

2 \cdot 4^{x} - 17 \cdot 2^{x} + 8 \geq 0

2 t^{2} - 17 t + 8 \geq 0

(2 t - 1) (t - 8) \geq 0

t \leq \frac{1}{2} или t \geq 8

Пусть t = 2ˣ, причём t > 0, так как показательная функция всегда положительна. Тогда 4ˣ = t².

t = 2^{x}, t > 0

4^{x} = t^{2}

2 t^{2} - 17 t + 8 = (2 t - 1) (t - 8)

\sqrt{(2 t - 1) (t - 8)} \geq t - 8

Сравниваем √(…) ≥ 0 с правой частью t − 8.

1) t - 8 < 0 (t < 8) : с ОДЗ 0 < t \leq \frac{1}{2} — верно всегда

2) t - 8 \geq 0 (t \geq 8) : (2 t - 1) (t - 8) \geq {(t - 8)}^{2}

(t - 8) (t + 7) \geq 0 \Rightarrow все t \geq 8

0 < t \leq \frac{1}{2} или t \geq 8

В случае 1 правая часть отрицательна, корень неотрицателен. В случае 2 возводим в квадрат (обе части ≥ 0).

Подставляем t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, возрастает — сравниваем показатели степени.

1) 0 < 2^{x} \leq \frac{1}{2}

x \leq - 1

2) 2^{x} \geq 8

x \geq 3

x \in (- \infty; - 1] \cup [3; + \infty)