Задача 10150705 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренное выражение неотрицательно. Полагаем s = √(2ˣ) = 2^{x/2}, тогда 2ˣ = s², и подкоренное выражение раскладывается на множители.

ОДЗ

s = 2^{x / 2}, s > 0, 2^{x} = s^{2}

s^{2} - 6 s + 8 \geq 0

(s - 2) (s - 4) \geq 0

s \leq 2 или s \geq 4

2^{x / 2} \leq 2^{1} или 2^{x / 2} \geq 2^{2}

x \leq 2 или x \geq 4

Проверка по Виета: для s² − 6s + 8 сумма корней должна равняться 6, произведение — 8. У нас 2 + 4 = 6 и 2 · 4 = 8 — оба сходятся. Показательная функция 2^{x/2} возрастает, поэтому переход к показателям степени сохраняет знаки.

шаг 2.Знак первого множителя

Единицу записываем как 2⁰. Функция 2ᵗ возрастает (основание степени 2 > 1), поэтому знак разности совпадает со знаком разности показателей степени.

2^{\frac{x - 3}{2}} - 1 = 2^{\frac{x - 3}{2}} - 2^{0}

2^{\frac{x - 3}{2}} - 1 \geq 0 ⟺ \frac{x - 3}{2} \geq 0 ⟺ x \geq 3

шаг 3.Разбираем произведение

Корень неотрицателен, поэтому произведение неотрицательно либо когда корень равен нулю, либо когда первый множитель неотрицателен.

1) \sqrt{\dots} = 0

s = 2 или s = 4

x = 2 или x = 4

2) \sqrt{\dots} > 0 и x \geq 3

x > 4

На левом куске ОДЗ (x ≤ 2) первый множитель отрицателен, поэтому там подходит только точка x = 2, где корень обращается в ноль. На правом куске (x ≥ 4) первый множитель положителен, и подходит весь луч.

шаг 4.Итог

Складываем результаты: изолированная точка x = 2 и луч, начиная с четвёрки.

Точка x = 3 показана как граница знака первого множителя: в ОДЗ она не входит. Проверка: x = 2 ⇒ первый множитель равен 2^{−0,5} − 1 ≈ −0,29, корень равен нулю, произведение равно нулю ✓. Проверка: x = 5 ⇒ первый множитель равен 2¹ − 1 = 1 > 0, корень положителен ✓. Проверка: x = 0 ⇒ первый множитель ≈ −0,65, корень равен √3 ≈ 1,73, произведение отрицательно — точка не подходит ✓.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Знак первого множителя

шаг 3.Разбираем произведение

шаг 4.Итог

ответ