Задача 10150702 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Подкоренное выражение неотрицательно. Полагаем s = √(2ˣ) = 2^{x/2}, тогда 2ˣ = s², и подкоренное выражение раскладывается на множители.

ОДЗ

s = 2^{x / 2}, s > 0, 2^{x} = s^{2}

s^{2} - 10 s + 16 \geq 0

(s - 2) (s - 8) \geq 0

s \leq 2 или s \geq 8

2^{x / 2} \leq 2^{1} или 2^{x / 2} \geq 2^{3}

x \leq 2 или x \geq 6

Проверка по Виета: для s² − 10s + 16 сумма корней должна равняться 10, произведение — 16. У нас 2 + 8 = 10 и 2 · 8 = 16 — оба сходятся. Показательная функция 2^{x/2} возрастает, поэтому переход к показателям степени сохраняет знаки.

шаг 2.Знак первого множителя

Единицу записываем как 2⁰. Функция 2ᵗ возрастает (основание степени 2 > 1), поэтому знак разности совпадает со знаком разности показателей степени.

2^{\frac{x - 4}{2}} - 1 = 2^{\frac{x - 4}{2}} - 2^{0}

2^{\frac{x - 4}{2}} - 1 \geq 0 ⟺ \frac{x - 4}{2} \geq 0 ⟺ x \geq 4

шаг 3.Разбираем произведение

Корень неотрицателен, поэтому произведение неотрицательно либо когда корень равен нулю, либо когда первый множитель неотрицателен.

1) \sqrt{\dots} = 0

s = 2 или s = 8

x = 2 или x = 6

2) \sqrt{\dots} > 0 и x \geq 4

x > 6

На левом куске ОДЗ (x ≤ 2) первый множитель отрицателен, поэтому там подходит только точка x = 2, где корень обращается в ноль. На правом куске (x ≥ 6) первый множитель положителен, и подходит весь луч.

шаг 4.Итог

Складываем результаты: изолированная точка x = 2 и луч, начиная с шестёрки.

Точка x = 4 показана как граница знака первого множителя: в ОДЗ она не входит. Проверка: x = 2 ⇒ первый множитель равен 2⁻¹ − 1 = −0,5, корень равен нулю, произведение равно нулю ✓. Проверка: x = 7 ⇒ первый множитель равен 2^{1,5} − 1 ≈ 1,83 > 0, корень положителен ✓. Проверка: x = 0 ⇒ первый множитель равен −0,75, корень равен √7 ≈ 2,65, произведение отрицательно — точка не подходит ✓.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Знак первого множителя

шаг 3.Разбираем произведение

шаг 4.Итог

ответ