Задача 10150701 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

(3^{\frac{x - 2}{2}} - 1) \sqrt{3^{x} - 10 \sqrt{3^{x}} + 9} \geq 0

Подкоренное выражение неотрицательно. После замены s = 3^{x/2} оно раскладывается на множители.

ОДЗ

3^{x} - 10 \sqrt{3^{x}} + 9 \geq 0

s^{2} - 10 s + 9 \geq 0

(s - 1) (s - 9) \geq 0

s \leq 1 или s \geq 9

По теореме Виета: сумма корней s² − 10s + 9 равна 10, произведение равно 9 → корни 1 и 9.

Пусть s = √(3ˣ) = 3^{x/2}, причём s > 0, так как показательная функция всегда положительна. Тогда 3ˣ = s², а 3^{(x−2)/2} = s/3.

s = 3^{x / 2}, s > 0

3^{x} = s^{2}, 3^{\frac{x - 2}{2}} = \frac{s}{3}

(\frac{s}{3} - 1) \sqrt{(s - 1) (s - 9)} \geq 0

Корень √(…) ≥ 0, поэтому произведение ≥ 0, если либо корень = 0, либо s/3 − 1 ≥ 0 (s ≥ 3).

ОДЗ 0 < s \leq 1 : \frac{s}{3} - 1 < 0, подходит только s = 1

ОДЗ s \geq 9 : \frac{s}{3} - 1 > 0 \Rightarrow все s \geq 9

s = 1 или s \geq 9

При 0 < s < 1 корень строго положителен, а s/3 − 1 < 0 → произведение < 0; равенство нулю даёт только s = 1.

Подставляем s = 3^{x/2}. Основание степени 3 > 1, возрастает — сравниваем показатели степени.

1) 3^{x / 2} = 1

3^{x / 2} = 3^{0}

x = 0

2) 3^{x / 2} \geq 9

3^{x / 2} \geq 3^{2}

\frac{x}{2} \geq 2, x \geq 4

Точка x = 0 — изолированное решение (корень обращается в нуль).

x \in {0} \cup [4; + \infty)