условие

52(33−x2−1)2−2833−x2−1+1≥0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль.

ОДЗ
33−x2−1≠0
3−x2≠0
x≠±3

Из 3³⁻ˣ² ≠ 1 = 3⁰ следует 3 − x² ≠ 0, то есть x² ≠ 3 ⟺ x ≠ ±√3.

шаг 2.Делаем замену

Пусть t = 3³⁻ˣ², t > 0 (показательная функция всегда положительна). Тогда знаменатель 3³⁻ˣ² − 1 = t − 1, и всё неравенство выражается через t.

t=33−x2,t>0
52(t−1)2−28t−1+1≥0

шаг 3.Сводим к одной дроби

52−28(t−1)+(t−1)2(t−1)2≥0
t2−30t+81(t−1)2≥0
(t−3)(t−27)(t−1)2≥0

Общий знаменатель (t − 1)². Числитель: 52 − 28(t − 1) + (t − 1)² = t² − 30t + 81 = (t − 3)(t − 27) (по Виета: сумма 30, произведение 81 → корни 3 и 27).

шаг 4.Метод интервалов в t

Точка t = 0 выколота (t = 3³⁻ˣ² > 0): зона (−∞; 0) положительна и формально проходит под ≥ 0, но условие замены t > 0 её отсекает. Корень знаменателя t = 1 чётной кратности — петелька: знак через него не меняется, точка выколота. Корни числителя t = 3 и t = 27 закрашены (нестрогое ≥). Решение: 0 < t < 1, 1 < t ≤ 3 и t ≥ 27.

(t−3)(t−27)(t−1)2≥0
+++−+01327
−∞
+∞
t
Пробная точка t = 10 на (3; 27): (10 − 3)(10 − 27)/(10 − 1)² = (7)(−17)/81 < 0 → знак «−». Через петельку при t = 1 знак сохраняется.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
+ +
(−∞;a)∪(a;+∞)
≥ 0
+ +
(−∞;+∞)
< 0
+ +
⌀
≤ 0
+ +
{a}
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 3³⁻ˣ². Условие t > 0 выполнено автоматически. Основание степени 3 > 1, показательная функция возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция y=ax монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
a > 1: возрастает 0 1 x₁ ax₁ x₂ ax₂
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
0 < a < 1: убывает 0 1 x₁ ax₁ x₂ ax₂
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: aA≤aB⟺A≤B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: aA≤aB⟺A≥B (знак переворачивается).
 — знак неравенства сохраняется.
1)0<t<1
33−x2<30
3−x2<0
x2>3
|x|>3
2)1<t≤3
30<33−x2≤31
0<3−x2≤1
2≤x2<3
2≤|x|<3
3)t≥27
33−x2≥33
3−x2≥3
x2≤0
x=0
случай 1
−3
3
−∞
+∞
x
случай 2
−3
−2
2
3
−∞
+∞
x
случай 30
−∞
+∞
x
ответ0
−3
−2
2
3
−∞
+∞
x

Объединяем: √2 ≤ |x| (без точек ±√3 по ОДЗ) плюс изолированная точка x = 0.

ответ

x∈(−∞;−3)∪(−3;−2]∪{0}∪[2;3)∪(3;+∞)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -