Задача 10150691 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{9^{x} - 5 \cdot 3^{x + 1} + 41}{3^{x} - 4} + \frac{3 \cdot 3^{x + 1} - 39}{3^{x} - 5} \geq 3^{x} - 2

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

ОДЗ

{\begin{matrix} 3^{x} - 4 \neq 0 \\ 3^{x} - 5 \neq 0 \end{matrix}

{\begin{matrix} 3^{x} \neq 4 \\ 3^{x} \neq 5 \end{matrix}

{\begin{matrix} x \neq \log_{3} 4 \\ x \neq \log_{3} 5 \end{matrix}

Ни 4, ни 5 не являются степенями тройки, поэтому 3ˣ = 4 и 3ˣ = 5 решаются логарифмом: x = log₃4 и x = log₃5.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

t = 3^{x}, t > 0

9^{x} = {(3^{x})}^{2} = t^{2}

5 \cdot 3^{x + 1} = 5 \cdot 3^{x} \cdot 3 = 15 \cdot 3^{x} = 15 t

3 \cdot 3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x} \cdot 3 = 9 \cdot 3^{x} = 9 t

\frac{t^{2} - 15 t + 41}{t - 4} + \frac{9 t - 39}{t - 5} \geq t - 2

Свойство степеней: 3ˣ⁺¹ = 3ˣ · 3, поэтому 5 · 3ˣ⁺¹ = 15 · 3ˣ = 15t и 3 · 3ˣ⁺¹ = 9 · 3ˣ = 9t. Также 9ˣ = (3ˣ)² = t².

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим t − 2 влево и приводим всё к общему знаменателю (t − 4)(t − 5): первую дробь домножаем на (t − 5), вторую — на (t − 4), а t − 2 — на обе скобки.

\frac{t^{2} - 15 t + 41}{t - 4} + \frac{9 t - 39}{t - 5} - (t - 2) \geq 0

\frac{(t^{2} - 15 t + 41) (t - 5) + (9 t - 39) (t - 4) - (t - 2) (t - 4) (t - 5)}{(t - 4) (t - 5)} \geq 0

шаг 4.Раскрываем числитель

Раскрываем три произведения числителя и собираем коэффициенты по степеням t. Старшие степени t³ и t² взаимно уничтожаются — остаётся линейное выражение.

(t^{2} - 15 t + 41) (t - 5) + (9 t - 39) (t - 4) - (t - 2) (t - 4) (t - 5) =

= (t^{3} - 20 t^{2} + 116 t - 205) + (9 t^{2} - 75 t + 156) -

- (t^{3} - 11 t^{2} + 38 t - 40) = (1 - 1) t^{3} + (- 20 + 9 + 11) t^{2} +

+ (116 - 75 - 38) t + (- 205 + 156 + 40) = 3 t - 9 = 3 (t - 3)

\frac{3 (t - 3)}{(t - 4) (t - 5)} \geq 0

Поразрядно: t³ → 1 − 1 = 0; t² → −20 + 9 + 11 = 0; t → 116 − 75 − 38 = 3; свободный → −205 + 156 + 40 = −9.

шаг 5.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 3 — закрашен (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: 4 и 5 — выколоты. Все интервалы решения лежат в области t > 0, поэтому условие замены выполняется автоматически — отдельная ось t > 0 не нужна.

\frac{3 (t - 3)}{(t - 4) (t - 5)} \geq 0

Пробная точка t = 6 на (5; +∞): 3(6 − 3)/((6 − 4)(6 − 5)) = 9/2 > 0 → знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются.

шаг 6.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 3ˣ. Основание степени 3 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 3ˣ положительна при любом x, поэтому нижние границы интервалов решения выполняются автоматически.

1) 3 \leq t < 4

3 \leq 3^{x} < 4

3^{1} \leq 3^{x} < 4

1 \leq x < \log_{3} 4

2) t > 5

3^{x} > 5

3^{x} > 3^{\log_{3} 5}

x > \log_{3} 5

log₃4 ≈ 1,26; log₃5 ≈ 1,46.

ответ

x \in [1; \log_{3} 4) \cup (\log_{3} 5; + \infty)