шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

Девятка — степень тройки: 3ˣ = 9 = 3² даёт x = 2 (приводим к одному основанию). Семёрка степенью тройки не является, поэтому 3ˣ = 7 решается логарифмом: x = log₃7.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

Свойство степеней: 3ˣ⁺¹ = 3ˣ · 3, поэтому 4 · 3ˣ⁺¹ = 12 · 3ˣ = 12t и 2 · 3ˣ⁺¹ = 6 · 3ˣ = 6t. Также 9ˣ = (3ˣ)² = t².

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим t + 3 влево и приводим всё к общему знаменателю (t − 9)(t − 7): первую дробь домножаем на (t − 7), вторую — на (t − 9), а t + 3 — на обе скобки.

шаг 4.Раскрываем числитель

Раскрываем три произведения числителя и собираем коэффициенты по степеням t. Старшие степени t³ и t² взаимно уничтожаются — остаётся линейное выражение.

Поразрядно: t³ → 1 − 1 = 0; t² → −19 + 6 + 13 = 0; t → 102 − 86 − 15 = 1; свободный → −126 + 288 − 189 = −27.

шаг 5.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 27 — закрашен (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: 7 и 9 — выколоты. Все интервалы решения лежат в t > 0, поэтому условие замены t > 0 выполняется автоматически — отдельная ось не нужна, обходимся одной.

Пробная точка t = 8: (8 − 27)/((8 − 9)(8 − 7)) = (−19)/(−1) = 19 > 0 → знак «+». Корни нечётной кратности — знаки чередуются.

шаг 6.Обратная замена

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 3ˣ положительна при любом x, а оба интервала решения уже лежат правее нуля — в обоих случаях остаётся только показательное неравенство.

log₃7 ≈ 1,77.