Задача 10150687 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не обращается в нуль: 2²ˣ = 4ˣ, делим на 4ˣ > 0 (10ˣ/4ˣ = (5/2)ˣ, 4ˣ/4ˣ = 1) и получаем (5/2)ˣ − 1 ≠ 0. Основание 5/2 > 1, показательная функция возрастает, поэтому снятие основания степени даёт x ≠ 0.

ОДЗ

10^{x} - 2^{2 x} \neq 0

10^{x} - 4^{x} \neq 0

\frac{10^{x}}{4^{x}} = {(\frac{10}{4})}^{x} = {(\frac{5}{2})}^{x}

\frac{4^{x}}{4^{x}} = 1

{(\frac{5}{2})}^{x} - 1 \neq 0

{(\frac{5}{2})}^{x} \neq 1

{(\frac{5}{2})}^{x} \neq {(\frac{5}{2})}^{0}

x \neq 0

Делим знаменатель на 4ˣ: 10ˣ/4ˣ = (10/4)ˣ = (5/2)ˣ, 4ˣ/4ˣ = 1. Снятие основания: 1 = (5/2)⁰, основание 5/2 > 1 → x ≠ 0.

шаг 2.Делаем замену

Все слагаемые однородны степени 2 по 5ˣ и 2ˣ. Приводим к 25ˣ, 10ˣ, 4ˣ, делим числитель и знаменатель на 4ˣ > 0 и вводим u = (5/2)ˣ, u > 0.

2 \cdot 5^{2 x} = 2 \cdot 25^{x}

3 \cdot 5^{x} \cdot 2^{x + 1} = 3 \cdot 5^{x} \cdot 2 \cdot 2^{x} = 6 \cdot 10^{x}

4^{x + 1} = 4 \cdot 4^{x}

\frac{2 \cdot 25^{x} - 6 \cdot 10^{x} + 4 \cdot 4^{x}}{10^{x} - 4^{x}} \leq 1

u = {(\frac{5}{2})}^{x}, u > 0

\frac{25^{x}}{4^{x}} = {(\frac{25}{4})}^{x} = {(\frac{5}{2})}^{2 x} = u^{2}

\frac{10^{x}}{4^{x}} = {(\frac{10}{4})}^{x} = {(\frac{5}{2})}^{x} = u

\frac{4^{x}}{4^{x}} = 1

\frac{2 \cdot 25^{x} - 6 \cdot 10^{x} + 4 \cdot 4^{x}}{4^{x}} = 2 u^{2} - 6 u + 4

\frac{10^{x} - 4^{x}}{4^{x}} = u - 1

\frac{2 u^{2} - 6 u + 4}{u - 1} \leq 1

\frac{2 (u - 1) (u - 2)}{u - 1} \leq 1

Числитель 2u² − 6u + 4 = 2(u² − 3u + 2); корни u² − 3u + 2 по теореме Виета (сумма 3, произведение 2) → 1 и 2, поэтому 2(u − 1)(u − 2). Множитель (u − 1) сократится дальше.

шаг 3.Сокращаем и сводим к дроби

Множитель (u − 1) сокращается; u = 1 (x = 0) исключено ОДЗ.

2 (u - 2) \leq 1

2 u - 4 \leq 1

u \leq \frac{5}{2}

шаг 4.Обратная замена

Подставляем u = (5/2)ˣ. Основание степени 5/2 > 1, показательная функция возрастает — сравниваем показатели степени. Точка u = 1 (x = 0) выколота.

Условие u > 0 из замены отдельно не проверяем: (5/2)ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница 0 < (5/2)ˣ выполняется автоматически — остаётся только (5/2)ˣ ≤ 5/2.

0 < {(\frac{5}{2})}^{x} \leq \frac{5}{2}

{(\frac{5}{2})}^{x} \leq {(\frac{5}{2})}^{1}

x \leq 1

{(\frac{5}{2})}^{x} \neq 1

{(\frac{5}{2})}^{x} \neq {(\frac{5}{2})}^{0}

x \neq 0

Снятие основания: 5/2 = (5/2)¹ → x ≤ 1; 1 = (5/2)⁰ → x ≠ 0.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Делаем замену

шаг 3.Сокращаем и сводим к дроби

шаг 4.Обратная замена

ответ