Задача 10150686 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{7^{x} + 7}{7^{x} - 7} + \frac{7^{x} - 7}{7^{x} + 7} \geq \frac{49^{x} + 96}{49^{x} - 49}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не обращается в нуль.

ОДЗ

49^{x} - 49 \neq 0

{(7^{x})}^{2} - 49 \neq 0

(7^{x} - 7) (7^{x} + 7) \neq 0

{\begin{matrix} 7^{x} \neq 7 \\ 7^{x} + 7 > 0 \end{matrix}

x \neq 1

Произведение (7ˣ − 7)(7ˣ + 7) равно нулю, только если хотя бы один множитель нуль. Но 7ˣ + 7 > 0 при любом x (7ˣ > 0, плюс 7), поэтому он в нуль не обращается — ограничение даёт лишь 7ˣ = 7, откуда x = 1.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0; тогда и t + 7 > 0 (понадобится в методе интервалов).

t = 7^{x}, t > 0

49^{x} = {(7^{x})}^{2} = t^{2}

49^{x} - 49 = t^{2} - 49 = (t - 7) (t + 7)

\frac{t + 7}{t - 7} + \frac{t - 7}{t + 7} \geq \frac{t^{2} + 96}{(t - 7) (t + 7)}

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{{(t + 7)}^{2} + {(t - 7)}^{2} - (t^{2} + 96)}{(t - 7) (t + 7)} \geq 0

\frac{2 t^{2} + 98 - t^{2} - 96}{(t - 7) (t + 7)} \geq 0

\frac{t^{2} + 2}{(t - 7) (t + 7)} \geq 0

(t + 7)² + (t − 7)² = 2t² + 98; вычитаем t² + 96 → t² + 2.

шаг 4.Метод интервалов в t

Числитель t² + 2 > 0 при любом t — нулей нет, на знак не влияет. Точки разрыва знаменателя: t = −7 и t = 7 — выколоты. Знак дроби совпадает со знаком (t − 7)(t + 7). На (−∞; −7) дробь положительна, но условие замены t > 0 отсекает всю область t < 0 (вместе с корнем t = −7) — после пересечения остаётся (7; +∞).

\frac{t^{2} + 2}{(t - 7) (t + 7)} \geq 0

Пробная точка t = 0 ∈ (−7; 7): (0² + 2)/((0 − 7)(0 + 7)) = 2/(−49) < 0 → знак «−». Знаменатель (t − 7)(t + 7) положителен только при t < −7 или t > 7.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 7ˣ. Основание степени 7 > 1, показательная функция возрастает — сравниваем показатели степени.

7^{x} > 7 = 7^{1}

x > 1

Граница — степень семёрки: 7 = 7¹; основание 7 > 1, поэтому переходим к показателям.

ответ

x \in (1; + \infty)