Задача 10150685 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

2^{x} - 6 - \frac{9 \cdot 2^{x} - 37}{4^{x} - 7 \cdot 2^{x} + 12} \leq \frac{1}{2^{x} - 4}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль. Левый знаменатель — квадратный трёхчлен относительно 2ˣ: раскладываем его на множители.

ОДЗ

4^{x} - 7 \cdot 2^{x} + 12 \neq 0

{(2^{x})}^{2} - 7 \cdot 2^{x} + 12 \neq 0

(2^{x} - 3) (2^{x} - 4) \neq 0

{\begin{matrix} 2^{x} - 3 \neq 0 \Rightarrow 2^{x} \neq 3 \Rightarrow x \neq \log_{2} 3 \\ 2^{x} - 4 \neq 0 \Rightarrow 2^{x} \neq 4 \Rightarrow x \neq 2 \end{matrix}

По теореме Виета для (2ˣ)² − 7·2ˣ + 12: сумма корней 7, произведение 12 → корни 3 и 4. 4 = 2² даёт x = 2; 3 не степень двойки → x = log₂3.

шаг 2.Делаем замену

Пусть t = 2ˣ, t > 0, так как показательная функция всегда положительна. Тогда 4ˣ = t², а 9·2ˣ = 9t.

t = 2^{x}, t > 0

t - 6 - \frac{9 t - 37}{(t - 3) (t - 4)} \leq \frac{1}{t - 4}

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{(t - 6) (t - 3) (t - 4) - (9 t - 37) - (t - 3)}{(t - 3) (t - 4)} \leq 0

\frac{t^{3} - 13 t^{2} + 44 t - 32}{(t - 3) (t - 4)} \leq 0

t^{3} - 13 t^{2} + 44 t - 32 =

= t^{3} - t^{2} - 12 t^{2} + 12 t + 32 t - 32 =

= t^{2} (t - 1) - 12 t (t - 1) + 32 (t - 1) =

= (t - 1) (t^{2} - 12 t + 32) = (t - 1) (t - 4) (t - 8)

\frac{(t - 1) (t - 4) (t - 8)}{(t - 3) (t - 4)} \leq 0

Группировка: t = 1 — корень (сумма коэффициентов 1 − 13 + 44 − 32 = 0), поэтому −13t² = −t² − 12t² и 44t = 12t + 32t — в каждой паре выделяется (t − 1); затем t² − 12t + 32 = (t − 4)(t − 8) (сумма 12, произведение 32).

шаг 4.Метод интервалов в t

Множитель (t − 4) сокращается; t = 4 (x = 2) исключено ОДЗ — на оси выколота, знак не меняется. Корни числителя: t = 1, t = 8 — закрашены (нестрогое ≤). Точка разрыва знаменателя: t = 3 — выколота. На (−∞; 1] дробь ≤ 0 и формально проходит, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 1] ∪ (3; 4) ∪ (4; 8].

\frac{(t - 1) (t - 8)}{t - 3} \leq 0

Пробная точка t = 2: (2 − 1)(2 − 8)/(2 − 3) = (−6)/(−1) > 0 → знак «+». Через выколотую t = 4 знак не меняется.

шаг 5.Обратная замена

Подставляем t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется. Точка t = 4 (x = 2) выколота.

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 2ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 1] выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 2ˣ ≤ 1.

1) 0 < t \leq 1

2^{x} \leq 1

2^{x} \leq 2^{0}

x \leq 0

2) 3 < t < 4

3 < 2^{x} < 4

\log_{2} 3 < x < 2

3) 4 < t \leq 8

4 < 2^{x} \leq 8

2 < x \leq 3

log₂3 ≈ 1,58.

ответ

x \in (- \infty; 0] \cup (\log_{2} 3; 2) \cup (2; 3]