условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатели дробей не обращаются в нуль.
Семёрка — первая степень основания: 7ˣ = 7 = 7¹ даёт x = 1 (приводим к одному основанию). Пятёрка степенью семёрки не является, поэтому 7ˣ = 5 решается логарифмом: x = log₇5.
шаг 2.Делаем замену
Показательная функция положительна, поэтому t > 0.
Свойство степеней: 49ˣ = (7²)ˣ = (7ˣ)² = t². Также 6 · 7ˣ = 6t.
шаг 3.Сводим к одной дроби
Переносим t + 5 влево и приводим всё к общему знаменателю (t − 5)(t − 7): первую дробь домножаем на (t − 7), вторую — на (t − 5), а t + 5 — на обе скобки.
шаг 4.Раскрываем числитель
Раскрываем три произведения числителя и собираем коэффициенты по степеням t. Старшие степени t³ и t² взаимно уничтожаются — остаётся линейное выражение.
Поразрядно: t³ → 1 − 1 = 0; t² → −13 + 6 + 7 = 0; t → 45 − 69 + 25 = 1; свободный → −21 + 195 − 175 = −1.
шаг 5.Метод интервалов в t
Корень числителя: t = 1 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: 5 и 7 — выколоты. На (−∞; 1) дробь отрицательна и формально проходит ≤ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 1] ∪ (5; 7).
Пробная точка t = 0: (0 − 1)/((0 − 5)(0 − 7)) = (−1)/35 < 0 → знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются.
шаг 6.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 7ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 1] выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 7ˣ ≤ 1.
log₇5 ≈ 0,83.