Задача 10150679 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{9^{x} + 5 \cdot 3^{x} - 24}{3^{x} - 3} + \frac{5 \cdot 9^{x} - 5 \cdot 3^{2 + x} + 6}{3^{x} - 9} \leq 2 \cdot 3^{x + 1} + 8

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

ОДЗ

{\begin{matrix} 3^{x} - 3 \neq 0 \\ 3^{x} - 9 \neq 0 \end{matrix}

{\begin{matrix} 3^{x} \neq 3 \\ 3^{x} \neq 9 \end{matrix}

{\begin{matrix} x \neq 1 \\ x \neq 2 \end{matrix}

Обе правые части — степени тройки: 3ˣ = 3 = 3¹ даёт x = 1, а 3ˣ = 9 = 3² даёт x = 2 (приводим к одному основанию).

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

t = 3^{x}, t > 0

9^{x} = {(3^{x})}^{2} = t^{2}

3^{2 + x} = 3^{2} \cdot 3^{x} = 9 t

2 \cdot 3^{x + 1} = 2 \cdot 3 \cdot 3^{x} = 6 t

\frac{t^{2} + 5 t - 24}{t - 3} + \frac{5 t^{2} - 45 t + 6}{t - 9} \leq 6 t + 8

Свойство степеней: 3²⁺ˣ = 3² · 3ˣ = 9t, а 3ˣ⁺¹ = 3 · 3ˣ, поэтому 2 · 3ˣ⁺¹ = 6 · 3ˣ = 6t. Также 9ˣ = (3ˣ)² = t².

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим 6t + 8 влево и приводим всё к общему знаменателю (t − 3)(t − 9): первую дробь домножаем на (t − 9), вторую — на (t − 3), а 6t + 8 — на обе скобки.

\frac{t^{2} + 5 t - 24}{t - 3} + \frac{5 t^{2} - 45 t + 6}{t - 9} - (6 t + 8) \leq 0

\frac{(t^{2} + 5 t - 24) (t - 9) + (5 t^{2} - 45 t + 6) (t - 3) - (6 t + 8) (t - 3) (t - 9)}{(t - 3) (t - 9)} \leq 0

шаг 4.Раскрываем числитель

Раскрываем три произведения числителя и собираем коэффициенты по степеням t. Старшие степени t³ и t² взаимно уничтожаются — остаётся линейное выражение.

(t^{2} + 5 t - 24) (t - 9) + (5 t^{2} - 45 t + 6) (t - 3) -

- (6 t + 8) (t - 3) (t - 9) =

= (t^{3} - 4 t^{2} - 69 t + 216) + (5 t^{3} - 60 t^{2} + 141 t - 18) -

- (6 t^{3} - 64 t^{2} + 66 t + 216) =

= (1 + 5 - 6) t^{3} + (- 4 - 60 + 64) t^{2} + (- 69 + 141 - 66) t +

+ (216 - 18 - 216) = 6 t - 18 = 6 (t - 3)

\frac{6 (t - 3)}{(t - 3) (t - 9)} \leq 0

Поразрядно: t³ → 1 + 5 − 6 = 0; t² → −4 − 60 + 64 = 0; t → −69 + 141 − 66 = 6; свободный → 216 − 18 − 216 = −18.

шаг 5.Сокращаем общий множитель

Множитель (t − 3) стоит и в числителе, и в знаменателе — сокращаем его.

\frac{6 (t - 3)}{(t - 3) (t - 9)} = \frac{6}{t - 9}

\frac{6}{t - 9} \leq 0

Сокращение (t − 3) допустимо: t = 3 (то есть x = 1) уже исключено ОДЗ, поэтому делитель не равен нулю — корень не теряем. Но точка x = 1 при этом останется выколотой в ответе.

шаг 6.Метод интервалов в t

После сокращения корней числителя нет, а единственная точка разрыва — t = 9 (выколота). На (−∞; 9) дробь 6/(t − 9) отрицательна и проходит ≤ 0, на (9; +∞) положительна. Точка t = 3 в выражении 6/(t − 9) уже не фигурирует, но как разрыв ОДЗ остаётся выколотой — знак через неё не меняется. После пересечения с t > 0 (отсекает отрицательную полуось) остаётся (0; 3) ∪ (3; 9).

\frac{6}{t - 9} \leq 0

Пробная точка t = 0: 6/(0 − 9) = −2/3 < 0 → знак «−». Точка t = 3 выколота по ОДЗ, но в дроби 6/(t − 9) её уже нет — знак через неё не меняется.

шаг 7.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 3ˣ. Основание степени 3 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 3ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 3) выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 3ˣ < 3.

1) 0 < t < 3

3^{x} < 3

3^{x} < 3^{1}

x < 1

2) 3 < t < 9

3 < 3^{x} < 9

3^{1} < 3^{x} < 3^{2}

1 < x < 2

Точка x = 1 (t = 3) остаётся выколотой по ОДЗ, хотя множитель (t − 3) сократился.

ответ

x \in (- \infty; 1) \cup (1; 2)