Задача 10150678 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

{0,25}^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot 14^{x} \cdot x^{- 2} \leq \frac{2^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot 112^{x}}{4 x^{2}}

шаг 1.Область допустимых значений

Ни знаменатели, ни степень x⁻² не должны обращаться в нуль. Три источника ограничений:

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{- 2} \Rightarrow x \neq 0 \\ 4 x^{2} \Rightarrow x \neq 0 \\ x + 2 \Rightarrow x \neq - 2 \end{matrix}

x \neq 0, x \neq - 2

шаг 2.Сводим к одной дроби

Переносим всё в левую часть и приводим к общему знаменателю 4x² (помним: x⁻² = 1/x²). Ничего не сокращаем.

{0,25}^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot 14^{x} \cdot x^{- 2} - \frac{2^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot 112^{x}}{4 x^{2}} \leq 0

\frac{4 \cdot {0,25}^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot 14^{x} - 2^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot 112^{x}}{4 x^{2}} \leq 0

шаг 3.Знаменатель 4x² > 0

Знаменатель 4x² > 0 при любом x ≠ 0 (квадрат!), поэтому знак дроби целиком определяет числитель. Смотрим на числитель.

4 \cdot {0,25}^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot 14^{x} - 2^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot 112^{x} \leq 0

4 \cdot {0,25}^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot 14^{x} \leq 2^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot 112^{x}

шаг 4.Приводим к основанию 8

Замечаем 112 = 8·14 и 2 = 8·0,25, поэтому 2^{…} = 8^{…}·0,25^{…}. Множители 14ˣ и 0,25^{…} есть в обеих частях и строго положительны (показательная функция всегда > 0), а деление обеих частей на положительное число знак неравенства не меняет — поэтому их можно сократить (это степени, а не x). Основание 8 > 1, возрастает.

4 \cdot {0,25}^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot 14^{x} \leq 2^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot 8^{x} \cdot 14^{x} | : 14^{x}

4 \cdot {0,25}^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \leq 8^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot {0,25}^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot 8^{x} | : {0,25}^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}}

4 \leq 8^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot 8^{x}

8^{- \frac{3 x - 2}{x + 2}} \cdot 8^{x} = 8^{x - \frac{3 x - 2}{x + 2}}

4 = 2^{2} = {(8^{\frac{1}{3}})}^{2} = 8^{\frac{2}{3}}

8^{x - \frac{3 x - 2}{x + 2}} \geq 4

8^{x - \frac{3 x - 2}{x + 2}} \geq 8^{\frac{2}{3}}

x - \frac{3 x - 2}{x + 2} \geq \frac{2}{3}

шаг 5.Сводим к одной дроби

x - \frac{3 x - 2}{x + 2} - \frac{2}{3} \geq 0

\frac{3 x (x + 2) - 3 (3 x - 2) - 2 (x + 2)}{3 (x + 2)} \geq 0

\frac{3 x^{2} + 6 x - 9 x + 6 - 2 x - 4}{3 (x + 2)} \geq 0

\frac{3 x^{2} - 5 x + 2}{3 (x + 2)} \geq 0

\frac{(3 x - 2) (x - 1)}{3 (x + 2)} \geq 0

3x² − 5x + 2: D = 25 − 24 = 1, корни (5 ± 1)/6 = 1 и 2/3, значит 3x² − 5x + 2 = (3x − 2)(x − 1).

шаг 6.Метод интервалов

Корни числителя 2/3 и 1 — закрашены (нестрогое ≥); точка разрыва знаменателя −2 — выколота. Отдельно ОДЗ исключает x = 0 и x = −2. Ответ — пересечение этих двух прямых.

Пробная точка x = −1: (3·(−1) − 2)(−1 − 1) / (3(−1 + 2)) = (−5)(−2)/3 = 10/3 > 0 → знак «+».

ответ

x \in (- 2; 0) \cup (0; \frac{2}{3}] \cup [1; + \infty)