Задача 10150674 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{8^{x + \frac{2}{3}} - 9 \cdot 4^{x + \frac{1}{2}} + 13 \cdot 2^{x} - 13}{4^{x + \frac{1}{2}} - 9 \cdot 2^{x} + 4} \leq 2^{x + 1} - \frac{1}{2^{x} - 2} + \frac{3}{2^{x + 1} - 1}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль (знаменатель слева 2·4ˣ − 9·2ˣ + 4 раскладывается на (2·2ˣ − 1)(2ˣ − 4)).

ОДЗ

{\begin{matrix} 2 \cdot 2^{x} - 1 \neq 0 \\ 2^{x} - 4 \neq 0 \\ 2^{x} - 2 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} 2^{x} \neq \frac{1}{2} \\ 2^{x} \neq 4 \\ 2^{x} \neq 2 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq - 1 \\ x \neq 2 \\ x \neq 1 \end{matrix}

1/2 = 2⁻¹, поэтому x = −1; 4 = 2², поэтому x = 2; 2 = 2¹, поэтому x = 1.

шаг 2.Делаем замену

Вводим t = 2ˣ, t > 0. Основания 8 и 4 приводим к 2 (8 = 2³, 4 = 2²) и разворачиваем сдвинутые показатели по свойству степени aᵐ⁺ⁿ = aᵐ·aⁿ, выражая каждое слагаемое через t. Знаменатель слева раскладываем на множители.

t = 2^{x}, t > 0

8^{x + \frac{2}{3}} = 2^{3 x + 2} = 4 \cdot {(2^{x})}^{3} = 4 t^{3}

4^{x + \frac{1}{2}} = 2^{2 x + 1} = 2 \cdot {(2^{x})}^{2} = 2 t^{2}

2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x} = 2 t

2 t^{2} - 9 t + 4 = (2 t - 1) (t - 4)

\frac{4 t^{3} - 18 t^{2} + 13 t - 13}{(2 t - 1) (t - 4)} \leq 2 t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2 t - 1}

шаг 3.Выделяем целую часть

Числитель слева кубический, знаменатель квадратный — выделяем целую часть. Раскладываем числитель методом группировки: разбиваем 13t = 8t + 5t, чтобы первые три слагаемых свернулись в 2t·(2t² − 9t + 4) = 2t·(2t − 1)(t − 4), а остаток 5t − 13 ушёл в дробную часть.

4 t^{3} - 18 t^{2} + 13 t - 13 =

= 4 t^{3} - 18 t^{2} + 8 t + 5 t - 13 =

= 2 t (2 t^{2} - 9 t + 4) + (5 t - 13) =

= 2 t (2 t - 1) (t - 4) + (5 t - 13)

\frac{4 t^{3} - 18 t^{2} + 13 t - 13}{(2 t - 1) (t - 4)} = 2 t + \frac{5 t - 13}{(2 t - 1) (t - 4)}

\frac{5 t - 13}{(2 t - 1) (t - 4)} \leq - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2 t - 1}

Группировка: 4t³ − 18t² + 8t = 2t(2t² − 9t + 4), а 2t² − 9t + 4 = (2t − 1)(t − 4) — тот же знаменатель. Поэтому целая часть = 2t, в остатке 5t − 13.

шаг 4.Сводим к одной дроби

\frac{(5 t - 13) (t - 2) + (2 t - 1) (t - 4) - 3 (t - 4) (t - 2)}{(2 t - 1) (t - 4) (t - 2)} \leq 0

\frac{4 t^{2} - 14 t + 6}{(2 t - 1) (t - 4) (t - 2)} \leq 0

\frac{2 (2 t - 1) (t - 3)}{(2 t - 1) (t - 4) (t - 2)} \leq 0

Числитель: (5t − 13)(t − 2) + (2t − 1)(t − 4) − 3(t − 4)(t − 2) = 4t² − 14t + 6 = 2(2t − 1)(t − 3).

шаг 5.Метод интервалов в t

Множитель (2t − 1) сокращается; значение t = 1/2 (x = −1) уже исключено ОДЗ — корень не теряем, на оси t = 1/2 выколота, знак через неё не меняется. Корень числителя: t = 3 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: t = 2, t = 4 — выколоты. На (−∞; 1/2) дробь отрицательна и формально проходит ≤ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 1/2) ∪ (1/2; 2) ∪ [3; 4).

\frac{2 (t - 3)}{(t - 4) (t - 2)} \leq 0

Пробная точка t = 0: 2(0 − 3)/((0 − 4)(0 − 2)) = −6/8 < 0 → знак «−».

шаг 6.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется. Точка t = 1/2 (x = −1) выколота.

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 2ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 1/2) выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 0 < 2ˣ < 2, 2ˣ ≠ 1/2.

1) 0 < 2^{x} < 2, 2^{x} \neq \frac{1}{2}

x < 1, x \neq - 1

2) 3 \leq 2^{x} < 4

\log_{2} 3 \leq x < 2

log₂3 ≈ 1,58.

ответ

x \in (- \infty; - 1) \cup (- 1; 1) \cup [\log_{2} 3; 2)

$\frac{27^{x + \frac{1}{3}} - 10 \cdot 9^{x} + 10 \cdot 3^{x} - 5}{9^{x + \frac{1}{2}} - 10 \cdot 3^{x} + 3} \leq 3^{x} + \frac{1}{3^{x} - 2} + \frac{1}{3^{x + 1} - 1}$