Задача 10150665 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{1}{2^{x} - 1} + \frac{4^{x + \frac{1}{2}} - 2^{x + 5} + 4}{2^{x} - 16} \geq 2^{x + 1}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

ОДЗ

{\begin{matrix} 2^{x} - 1 \neq 0 \\ 2^{x} - 16 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} 2^{x} \neq 1 \\ 2^{x} \neq 16 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq 4 \end{matrix}

шаг 2.Делаем замену

Вводим t = 2ˣ (t > 0, показательная функция положительна) и переписываем все степени через t.

t = 2^{x}, t > 0

4^{x + \frac{1}{2}} = 4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}} = {(2^{x})}^{2} \cdot 2 = 2 t^{2}

2^{x + 5} = 2^{x} \cdot 2^{5} = 32 t

2^{x + 1} = 2^{x} \cdot 2 = 2 t

\frac{1}{t - 1} + \frac{2 t^{2} - 32 t + 4}{t - 16} \geq 2 t

шаг 3.Приводим к общему знаменателю

Переносим 2t влево и сводим все три слагаемых к общему знаменателю (t − 1)(t − 16).

\frac{1}{t - 1} + \frac{2 t^{2} - 32 t + 4}{t - 16} - 2 t \geq 0

\frac{(t - 16) + (2 t^{2} - 32 t + 4) (t - 1) - 2 t (t - 1) (t - 16)}{(t - 1) (t - 16)} \geq 0

\frac{5 t - 20}{(t - 1) (t - 16)} \geq 0

\frac{5 (t - 4)}{(t - 1) (t - 16)} \geq 0

Раскрываем числитель: (2t² − 32t + 4)(t − 1) = 2t³ − 34t² + 36t − 4, 2t(t − 1)(t − 16) = 2t³ − 34t² + 32t. Кубы и квадраты сокращаются, остаётся (t − 16) + 36t − 32t − 4 = 5t − 20.

шаг 4.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 4 — закрашен (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: t = 1, t = 16 — выколоты.

Пробная точка t = 2: 5(2 − 4)/((2 − 1)(2 − 16)) = (−10)/(−14) > 0 → знак «+».

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

1) 1 < 2^{x} \leq 4

2^{0} < 2^{x} \leq 2^{2}

0 < x \leq 2

2) 2^{x} > 16

2^{x} > 2^{4}

x > 4

ответ

x \in (0; 2] \cup (4; + \infty)

$\frac{1}{3^{x} - 1} + \frac{9^{x + \frac{1}{2}} - 3^{x + 3} + 3}{3^{x} - 9} \geq 3^{x + 1}$