Задача 10150664 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

{(9^{x} - 3^{x + 1})}^{2} + 8 \cdot 3^{x + 1} < 8 \cdot 9^{x} + 20

ОДЗ — вся числовая прямая. Замечаем, что выражение 9ˣ − 3ˣ⁺¹ повторяется — обозначим его y.

y = 9^{x} - 3^{x + 1}

y^{2} + 8 \cdot 3^{x + 1} - 8 \cdot 9^{x} - 20 < 0

y^{2} - 8 y - 20 < 0

D = 64 + 80 = 144

y = \frac{8 \pm 12}{2} \begin{matrix} = 10 \\ = - 2 \end{matrix}

- 2 < y < 10

8·3ˣ⁺¹ − 8·9ˣ = 24·3ˣ − 8·(3ˣ)² = −8(9ˣ − 3ˣ⁺¹) = −8y. Парабола вверх, < 0 между корнями.

Подставляем t = 3ˣ (t > 0). Разбиваем двойное неравенство на систему двух квадратных.

t = 3^{x}, t > 0

y = t^{2} - 3 t

- 2 < t^{2} - 3 t < 10 ⟺ {\begin{matrix} t^{2} - 3 t > - 2 1 \\ t^{2} - 3 t < 10 2 \end{matrix}

1 t^{2} - 3 t + 2 > 0

(t - 1) (t - 2) > 0

t < 1 или t > 2

2 t^{2} - 3 t - 10 < 0

(t - 5) (t + 2) < 0

- 2 < t < 5

① Виета: сумма 3, произведение 2 → корни 1 и 2. ② Виета: сумма 3, произведение −10 → корни 5 и −2; при t > 0 множитель (t+2) > 0, остаётся t < 5.

Основание 3 > 1 — показательная функция возрастает, сравниваем показатели.

0 < 3^{x} < 1

3^{x} < 3^{0}

x < 0

2 < 3^{x} < 5

3^{x} > 2 \Rightarrow x > \log_{3} 2

3^{x} < 5 \Rightarrow x < \log_{3} 5

log₃ 2 ≈ 0,63 и log₃ 5 ≈ 1,46. Нижнюю границу 3ˣ > 0 в первом случае опускаем — она верна для любого x.

x \in (- \infty; 0) \cup (\log_{3} 2; \log_{3} 5)