Задача 10150662 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

16^{\frac{1}{x - 1}} - 4^{\frac{1}{x - 1}} - 2 \geq 0

В показателях степени дробь с знаменателем x − 1.

ОДЗ

x - 1 \neq 0 ⟺ x \neq 1

Обозначим t = 4^{1/(x−1)}. Показательная функция строго положительна, поэтому t > 0.

16^{\frac{1}{x - 1}} = {(4^{\frac{1}{x - 1}})}^{2}

t = 4^{\frac{1}{x - 1}}, t > 0

t^{2} - t - 2 \geq 0

D = 1 + 8 = 9

t = \frac{1 \pm 3}{2} \begin{matrix} = 2 \\ = - 1 \end{matrix}

(t - 2) (t + 1) \geq 0

Корень t = −1 вне области t > 0 — отбрасываем. При t > 0 множитель (t + 1) > 0, остаётся t ≥ 2.

Подставляем t = 4^{1/(x−1)}. Основание 4 > 1, возрастает — сравниваем показатели.

t \geq 2

4^{\frac{1}{x - 1}} \geq 4^{\frac{1}{2}}

\frac{1}{x - 1} \geq \frac{1}{2}

\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{2} \geq 0

\frac{3 - x}{2 (x - 1)} \geq 0

Пробная x = 2: (3−2)/(2·1) = 1/2 > 0, знак «+». Точка x = 1 выколота по ОДЗ.

x \in (1; 3]