Задача 10150660 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

9^{\frac{1}{x - 1}} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{x - 1}} - 3 \geq 0

В показателях степени дробь с знаменателем x − 1.

ОДЗ

x - 1 \neq 0 ⟺ x \neq 1

Обозначим t = 3^{1/(x−1)}. Показательная функция строго положительна, поэтому t > 0.

9^{\frac{1}{x - 1}} = {(3^{\frac{1}{x - 1}})}^{2}

t = 3^{\frac{1}{x - 1}}, t > 0

t^{2} + 2 t - 3 \geq 0

D = 4 + 12 = 16

t = \frac{- 2 \pm 4}{2} \begin{matrix} = 1 \\ = - 3 \end{matrix}

(t - 1) (t + 3) \geq 0

Корень t = −3 вне области t > 0 — отбрасываем. При t > 0 множитель (t + 3) > 0, остаётся t ≥ 1.

Подставляем t = 3^{1/(x−1)}. Основание 3 > 1, возрастает — сравниваем показатели.

t \geq 1

3^{\frac{1}{x - 1}} \geq 3^{0}

\frac{1}{x - 1} \geq 0

x - 1 > 0

x > 1

Числитель дроби 1/(x−1) равен 1 > 0, поэтому дробь ≥ 0 при x − 1 > 0. Равенство 1/(x−1) = 0 невозможно — граница строго выколота.

x \in (1; + \infty)