шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель дроби не обращается в нуль. Квадратный трёхчлен по 3ˣ раскладываем на множители.

Знаменатель — квадратный трёхчлен относительно 3ˣ. По теореме Виета (сумма 4, произведение 3) корни 1 и 3 → 3ˣ = 1 (x = 0) и 3ˣ = 3 (x = 1).

шаг 2.Делаем замену

Вводим t = 3ˣ (t > 0, показательная функция всегда положительна); тогда 9ˣ = 3²ˣ = t². Подставляем, раскладываем числитель и знаменатель левой дроби и сокращаем общий множитель (t − 1) — значение t = 1 (x = 0) уже исключено ОДЗ, корень не теряем.

Числитель −63 + 63·3ˣ = 63(3ˣ − 1) = 63(t − 1); знаменатель t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3).

шаг 3.Сводим к одной дроби

(t² − 7t − 21)(t − 3) = t³ − 10t² + 63; затем 63 − (t³ − 10t² + 63) = −t³ + 10t² = t²(10 − t).

шаг 4.Метод интервалов в t

Множитель t² не сокращаем: t = 0 — корень чётной кратности → петелька, знак через точку не меняется. Корень числителя t = 10 — закрашен (нестрогое ≤). Точка разрыва знаменателя t = 3 — выколота. Точка t = 1 выколота по ОДЗ (сокращённый множитель числителя) — знак через неё не меняется. Условие замены t > 0 отсекает t < 0 — после пересечения остаётся (0; 1) ∪ (1; 3) ∪ [10; +∞).

шаг 5.Обратная замена

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 3ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница интервала (0; 3) выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 3ˣ < 3.

log₃10 ≈ 2,10.