Задача 10150652 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{4^{x} - 6 \cdot 2^{x} - 20}{2^{x} - 32} \geq 1

Знаменатель дроби не обращается в нуль.

ОДЗ

2^{x} - 32 \neq 0

2^{x} \neq 32 = 2^{5}

x \neq 5

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

t = 2^{x}, t > 0

4^{x} = {(2^{x})}^{2} = t^{2}

\frac{t^{2} - 6 t - 20}{t - 32} \geq 1

\frac{t^{2} - 6 t - 20}{t - 32} - 1 \geq 0

\frac{t^{2} - 6 t - 20 - (t - 32)}{t - 32} \geq 0

\frac{t^{2} - 7 t + 12}{t - 32} \geq 0

\frac{(t - 3) (t - 4)}{t - 32} \geq 0

t² − 7t + 12: произведение 12, сумма −7 → корни 3 и 4, значит t² − 7t + 12 = (t − 3)(t − 4).

Корни числителя t = 3 и t = 4 — закрашены (нестрогое ≥), точка разрыва знаменателя t = 32 — выколота.

\frac{(t - 3) (t - 4)}{t - 32} \geq 0

Пробная точка t = 0: (0 − 3)(0 − 4)/(0 − 32) = (−3)(−4)/(−32) = −3/8 < 0 → знак «−» на (−∞; 3).

Возвращаемся к x, подставляя t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

1) 3 \leq 2^{x} \leq 4

\log_{2} 3 \leq x \leq 2

2) 2^{x} > 32 = 2^{5}

x > 5

log₂3 ≈ 1,58. Граница x = 5 выколота по ОДЗ (2ˣ = 32).

x \in [\log_{2} 3; 2] \cup (5; + \infty)