условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатели дробей не обращаются в нуль. Первый знаменатель раскладываем группировкой: из пар выносим 2ˣ и −4, остаётся общий множитель (x − 5).
ОДЗ
Группировка: x·2ˣ − 5·2ˣ = 2ˣ(x − 5); −4x + 20 = −4(x − 5). Общий множитель (x − 5) даёт (x − 5)(2ˣ − 4). Затем 4 = 2², поэтому 2ˣ ≠ 4 равносильно x ≠ 2.
шаг 2.Раскладываем и сводим к дроби
Числитель раскладываем: 6ˣ − 4·3ˣ = 3ˣ(2ˣ − 4). Знаменатель разложили в ОДЗ. Сокращаем общий множитель (2ˣ − 4) — значение x = 2 уже исключено ОДЗ, корень не теряем. Переносим правую часть влево.
шаг 3.Метод интервалов в x
Записываем 1 = 3⁰: числитель 3ˣ − 3⁰ — разность степеней одного основания, знаменатель x − 5 — многочлен; к дроби применим метод интерваловКогда работает метод интервалов?
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0..
➀ Полиномы и дроби — корни находятся алгебраически, между ними знак постоянен.
Пример:
Пример:
➁ Разности степеней одного основания
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
➂ Разность одинаковых степеней
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
· В ② и ③ только разность! Сумма всегда , корня нет → не учитываем.
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Смешанные — не работает
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.
Корень числителя x = 0 (3ˣ = 3⁰ ⟺ x = 0, так как 3ˣ возрастаетПоказательная функция и знак неравенства
Функция монотонна на ℝ. Направление зависит от основания: при a > 1 растёт, при 0 < a < 1 убывает.
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ < ax₂ — знак сохраняется
x₁ < x₂ ⟹ ax₁ > ax₂ — знак переворачивается
Переход «значения → показатели» работает так:
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
) — закрашен (нестрогое ≤). Точка разрыва знаменателя x = 5 — выколота. Точка x = 2 выколота по ОДЗ (сокращённый множитель 2ˣ − 4) — знак через неё не меняется.· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Пробная точка x = 1: (3 − 1)/(1 − 5) = 2/(−4) < 0 → знак «−». Через выколотую x = 2 знак не меняется (множитель сокращён).