Задача 10150647 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{1}{3^{x} - 1} + \frac{9^{x + \frac{1}{2}} - 3^{x + 3} + 3}{3^{x} - 9} \geq 3^{x + 1}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

ОДЗ

{\begin{matrix} 3^{x} - 1 \neq 0 \\ 3^{x} - 9 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} 3^{x} \neq 1 \\ 3^{x} \neq 9 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq 2 \end{matrix}

шаг 2.Делаем замену

Вводим t = 3ˣ (t > 0, показательная функция положительна) и переписываем все степени через t.

t = 3^{x}, t > 0

9^{x + \frac{1}{2}} = 9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} = {(3^{x})}^{2} \cdot 3 = 3 t^{2}

3^{x + 3} = 3^{x} \cdot 3^{3} = 27 t

3^{x + 1} = 3^{x} \cdot 3 = 3 t

\frac{1}{t - 1} + \frac{3 t^{2} - 27 t + 3}{t - 9} \geq 3 t

шаг 3.Приводим к общему знаменателю

Переносим 3t влево и сводим все три слагаемых к общему знаменателю (t − 1)(t − 9).

\frac{1}{t - 1} + \frac{3 t^{2} - 27 t + 3}{t - 9} - 3 t \geq 0

\frac{(t - 9) + (3 t^{2} - 27 t + 3) (t - 1) - 3 t (t - 1) (t - 9)}{(t - 1) (t - 9)} \geq 0

\frac{4 t - 12}{(t - 1) (t - 9)} \geq 0

\frac{4 (t - 3)}{(t - 1) (t - 9)} \geq 0

Раскрываем числитель: (3t² − 27t + 3)(t − 1) = 3t³ − 30t² + 30t − 3, 3t(t − 1)(t − 9) = 3t³ − 30t² + 27t. Кубы и квадраты сокращаются, остаётся (t − 9) + 30t − 27t − 3 = 4t − 12.

шаг 4.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 3 — закрашен (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: t = 1, t = 9 — выколоты.

Пробная точка t = 2: 4(2 − 3)/((2 − 1)(2 − 9)) = (−4)/(−7) > 0 → знак «+».

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 3ˣ. Основание степени 3 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

1) 1 < 3^{x} \leq 3

3^{0} < 3^{x} \leq 3^{1}

0 < x \leq 1

2) 3^{x} > 9

3^{x} > 3^{2}

x > 2

ответ

x \in (0; 1] \cup (2; + \infty)

$\frac{1}{2^{x} - 1} + \frac{4^{x + \frac{1}{2}} - 2^{x + 5} + 4}{2^{x} - 16} \geq 2^{x + 1}$