Задача 10150642 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

1 + \frac{11}{2^{x} - 8} + \frac{28}{4^{x} - 2^{x + 4} + 64} \geq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль. Второй знаменатель — квадратный трёхчлен относительно 2ˣ, сворачивается в полный квадрат (2ˣ − 8)².

ОДЗ

2^{x} - 8 \neq 0

4^{x} - 2^{x + 4} + 64 \neq 0

{(2^{x})}^{2} - 16 \cdot 2^{x} + 64 \neq 0

{(2^{x} - 8)}^{2} \neq 0

2^{x} \neq 8

x \neq 3

8 = 2³, поэтому 2ˣ = 8 даёт x = 3.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

t = 2^{x}, t > 0

4^{x} = {(2^{x})}^{2} = t^{2}, 2^{x + 4} = 16 t

4^{x} - 2^{x + 4} + 64 = t^{2} - 16 t + 64 = {(t - 8)}^{2}

1 + \frac{11}{t - 8} + \frac{28}{{(t - 8)}^{2}} \geq 0

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{{(t - 8)}^{2} + 11 (t - 8) + 28}{{(t - 8)}^{2}} \geq 0

\frac{t^{2} - 5 t + 4}{{(t - 8)}^{2}} \geq 0

\frac{(t - 1) (t - 4)}{{(t - 8)}^{2}} \geq 0

(t − 8)² + 11(t − 8) + 28 = t² − 16t + 64 + 11t − 88 + 28 = t² − 5t + 4. По теореме Виета: сумма корней 5, произведение 4 → корни t = 1 и t = 4, значит t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4).

шаг 4.Метод интервалов в t

Корни числителя: t = 1, t = 4 — закрашены (нестрогое ≥). В знаменателе: t = 8 (чётная кратность 2 → петелька, знак через точку не меняется) — выколота по ОДЗ. На интервале t < 1 дробь положительна и формально проходит ≥ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения слева остаётся (0; 1].

\frac{(t - 1) (t - 4)}{{(t - 8)}^{2}} \geq 0

Пробная точка t = 2: (2 − 1)(2 − 4)/(2 − 8)² = (−2)/36 < 0 → знак «−». Через петельку при t = 8 знак не меняется.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется. Точка t = 8 (x = 3) выколота.

Условие t > 0 не проверяем: t = 2ˣ > 0 при любом x. Три промежутка по t дают три случая по x; выколотая t = 8 — это x = 3 между случаями 2 и 3.

1) 0 < 2^{x} \leq 1

2^{x} \leq 2^{0}

x \leq 0

2) 4 \leq 2^{x} < 8

2^{2} \leq 2^{x} < 2^{3}

2 \leq x < 3

3) 2^{x} > 8

2^{x} > 2^{3}

x > 3

Точка x = 3 — выколота (петелька при t = 8).

ответ

x \in (- \infty; 0] \cup [2; 3) \cup (3; + \infty)

$1 + \frac{14}{3^{x} - 9} + \frac{48}{9^{x} - 2 \cdot 3^{x + 2} + 81} \geq 0$