Задача 10150640 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{3^{x} + 9}{3^{x} - 9} + \frac{3^{x} - 9}{3^{x} + 9} \geq \frac{4 \cdot 3^{x + 1} + 144}{9^{x} - 81}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатель не обращается в нуль.

ОДЗ

9^{x} - 81 \neq 0

{(3^{x})}^{2} - 81 \neq 0

(3^{x} - 9) (3^{x} + 9) \neq 0

{\begin{matrix} 3^{x} \neq 9 \\ 3^{x} + 9 > 0 \end{matrix}

x \neq 2

Произведение (3ˣ − 9)(3ˣ + 9) равно нулю, только если хотя бы один множитель нуль. Но 3ˣ + 9 > 0 при любом x (3ˣ > 0, плюс 9), поэтому он в нуль не обращается — ограничение даёт лишь 3ˣ = 9, откуда x = 2.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0; тогда и t + 9 > 0 (понадобится в методе интервалов).

t = 3^{x}, t > 0

9^{x} = {(3^{x})}^{2} = t^{2}

4 \cdot 3^{x + 1} = 4 \cdot 3 \cdot 3^{x} = 12 t

9^{x} - 81 = t^{2} - 81 = (t - 9) (t + 9)

\frac{t + 9}{t - 9} + \frac{t - 9}{t + 9} \geq \frac{12 t + 144}{(t - 9) (t + 9)}

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{{(t + 9)}^{2} + {(t - 9)}^{2} - (12 t + 144)}{(t - 9) (t + 9)} \geq 0

\frac{2 t^{2} - 12 t + 18}{(t - 9) (t + 9)} \geq 0

\frac{2 {(t - 3)}^{2}}{(t - 9) (t + 9)} \geq 0

(t + 9)² + (t − 9)² = 2t² + 162; вычитаем 12t + 144 → 2t² − 12t + 18 = 2(t − 3)².

шаг 4.Метод интервалов в t

Корень числителя t = 3 чётной кратности — петелька (знак через точку не меняется), закрашен (нестрогое ≥) и даёт изолированную точку. Точки разрыва знаменателя t = −9 и t = 9 — выколоты. На (−∞; −9) дробь положительна и формально проходит ≥ 0, но условие замены t > 0 отсекает всю область t < 0 (вместе с корнем t = −9) — после пересечения остаётся {3} ∪ (9; +∞).

\frac{2 {(t - 3)}^{2}}{(t - 9) (t + 9)} \geq 0

Пробная точка t = 5 на (3; 9): 2(5 − 3)²/((5 − 9)(5 + 9)) = 8/(−56) < 0 → знак «−». Через петельку при t = 3 знак не меняется.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 3ˣ. Основание степени 3 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

1) 3^{x} = 3

3^{x} = 3^{1}

x = 1

2) 3^{x} > 9

3^{x} > 3^{2}

x > 2

Границы — степени тройки: 3 = 3¹, 9 = 3²; основание 3 > 1, поэтому переходим к показателям. Точка x = 1 — изолированное решение (петелька при t = 3).

ответ

x \in {1} \cup (2; + \infty)