шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

Единица — нулевая степень пятёрки: 5ˣ = 1 = 5⁰ даёт x = 0 (приводим к одному основанию). Семёрка степенью пятёрки не является, поэтому 5ˣ = 7 решается логарифмом: x = log₅7.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

Свойство степеней: 5ˣ⁺² = 5ˣ · 5², поэтому 5ˣ⁺² = 25 · 5ˣ = 25t. Также 25ˣ = (5ˣ)² = t².

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим 2t − 24 влево и приводим всё к общему знаменателю (t − 1)(t − 7): первую дробь домножаем на (t − 7), вторую — на (t − 1), а 2t − 24 — на обе скобки.

шаг 4.Раскрываем числитель

Раскрываем три произведения числителя и собираем коэффициенты по степеням t. Старшая степень t³ сокращается, а t² остаётся — числитель оказывается квадратным трёхчленом.

Поразрядно: t³ → 1 + 1 − 2 = 0; t² → −32 + 6 + 40 = 14; t → 201 − 6 − 206 = −11; свободный → −182 − 1 + 168 = −15.

шаг 5.Раскладываем числитель на множители

Числитель — квадратный трёхчлен 14t² − 11t − 15. Находим его корни через дискриминант и записываем разложение.

Двойку из 14 вносим в первую скобку: 2·(t − 3/2) = 2t − 3; семёрку — во вторую: 7·(t + 5/7) = 7t + 5.

шаг 6.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 3/2 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: 1 и 7 — выколоты. При t > 0 множитель 7t + 5 > 0, поэтому на знак дроби он не влияет — достаточно знака (2t − 3)/((t − 1)(t − 7)). Условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 1) ∪ [3/2; 7).

Пробная точка t = 4: (2·4 − 3)(7·4 + 5)/((4 − 1)(4 − 7)) = (5)(33)/((3)(−3)) < 0 → знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются.

шаг 7.Обратная замена

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 5ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 1) выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 5ˣ < 1.

log₅(3/2) ≈ 0,25; log₅7 ≈ 1,21.