Задача 10150632 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

2^{x} + \frac{2^{x + 2}}{2^{x} - 4} + \frac{4^{x} + 7 \cdot 2^{x} + 20}{4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 2} + 32} \leq 1

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль. Второй знаменатель — квадратный трёхчлен относительно 2ˣ: раскладываем (2ˣ)² − 12·2ˣ + 32 = (2ˣ − 4)(2ˣ − 8).

ОДЗ

2^{x} - 4 \neq 0

2^{x} \neq 4

x \neq 2

4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 2} + 32 \neq 0

{(2^{x})}^{2} - 12 \cdot 2^{x} + 32 \neq 0

(2^{x} - 4) (2^{x} - 8) \neq 0

2^{x} \neq 4, 2^{x} \neq 8

x \neq 2, x \neq 3

4 = 2², поэтому 2ˣ = 4 даёт x = 2; 8 = 2³, поэтому 2ˣ = 8 даёт x = 3.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

t = 2^{x}, t > 0

4^{x} = {(2^{x})}^{2} = t^{2}, 2^{x + 2} = 4 t

4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 2} + 32 = t^{2} - 12 t + 32 = (t - 4) (t - 8)

t + \frac{4 t}{t - 4} + \frac{t^{2} + 7 t + 20}{(t - 4) (t - 8)} \leq 1

шаг 3.Сводим к одной дроби

\frac{t (t - 4) (t - 8) + 4 t (t - 8) + t^{2} + 7 t + 20 - (t - 4) (t - 8)}{(t - 4) (t - 8)} \leq 0

\frac{t^{3} - 8 t^{2} + 19 t - 12}{(t - 4) (t - 8)} \leq 0

t^{3} - 8 t^{2} + 19 t - 12 =

= t^{3} - t^{2} - 7 t^{2} + 7 t + 12 t - 12 =

= t^{2} (t - 1) - 7 t (t - 1) + 12 (t - 1) =

= (t - 1) (t^{2} - 7 t + 12) =

= (t - 1) (t - 3) (t - 4)

\frac{(t - 1) (t - 3) (t - 4)}{(t - 4) (t - 8)} \leq 0

Группировка: −8t² = −t² − 7t², 19t = 7t + 12t — в трёх группах выносится (t − 1); квадрат t² − 7t + 12 = (t − 3)(t − 4) по Виета.

шаг 4.Метод интервалов в t

Корни числителя t = 1, t = 3 — закрашены (нестрогое ≤). Общий ноль t = 4 — петелька (выколота по ОДЗ, знак не меняется). Разрыв t = 8 — выколот. Условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось.

\frac{(t - 1) (t - 3) (t - 4)}{(t - 4) (t - 8)} \leq 0

Пробная точка t = 0,5: числитель (0,5 − 1)(0,5 − 3)(0,5 − 4) < 0, знаменатель (0,5 − 4)(0,5 − 8) > 0 → дробь < 0, знак «−». Через общий ноль t = 4 (суммарная кратность 2) знак не меняется — петелька.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется. Точка t = 4 (x = 2) выколота.

Условие t > 0 не проверяем: t = 2ˣ > 0 при любом x. Три промежутка по t дают три случая по x; выколотая t = 4 — это x = 2 между случаями 2 и 3.

1) 0 < 2^{x} \leq 1

2^{x} \leq 2^{0}

x \leq 0

2) 3 \leq 2^{x} < 4

\log_{2} 3 \leq x < 2

3) 4 < 2^{x} < 8

2^{2} < 2^{x} < 2^{3}

2 < x < 3

log₂3 ≈ 1,58.

ответ

x \in (- \infty; 0] \cup [\log_{2} 3; 2) \cup (2; 3)

$3^{x} + \frac{2 \cdot 3^{x + 1}}{3^{x} - 3} + \frac{9^{x} + 26 \cdot 3^{x} + 21}{9^{x} - 4 \cdot 3^{x + 1} + 27} \leq 1$