Задача 10150629 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{9^{x} - 3^{x + 1} - 19}{3^{x} - 6} + \frac{9^{x + 1} - 3^{x + 4} + 2}{3^{x} - 9} \geq 10 \cdot 3^{x} + 3

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

ОДЗ

{\begin{matrix} 3^{x} - 6 \neq 0 \\ 3^{x} - 9 \neq 0 \end{matrix}

{\begin{matrix} 3^{x} \neq 6 \\ 3^{x} \neq 9 \end{matrix}

{\begin{matrix} x \neq \log_{3} 6 \\ x \neq 2 \end{matrix}

Шестёрка степенью тройки не является, поэтому 3ˣ = 6 решается логарифмом: x = log₃6. Девятка — степень тройки: 3ˣ = 9 = 3² даёт x = 2 (приводим к одному основанию).

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

t = 3^{x}, t > 0

9^{x} = {(3^{x})}^{2} = t^{2}

3^{x + 1} = 3^{x} \cdot 3 = 3 t

9^{x + 1} = 9 \cdot 9^{x} = 9 t^{2}, 3^{x + 4} = 3^{x} \cdot 81 = 81 t

\frac{t^{2} - 3 t - 19}{t - 6} + \frac{9 t^{2} - 81 t + 2}{t - 9} \geq 10 t + 3

Свойство степеней: 3ˣ⁺¹ = 3ˣ · 3 = 3t; 9ˣ⁺¹ = 9 · 9ˣ = 9t²; 3ˣ⁺⁴ = 3ˣ · 3⁴ = 81t. Также 9ˣ = (3ˣ)² = t².

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим 10t + 3 влево и приводим всё к общему знаменателю (t − 6)(t − 9): первую дробь домножаем на (t − 9), вторую — на (t − 6), а 10t + 3 — на обе скобки.

\frac{t^{2} - 3 t - 19}{t - 6} + \frac{9 t^{2} - 81 t + 2}{t - 9} - (10 t + 3) \geq 0

\frac{(t^{2} - 3 t - 19) (t - 9) + (9 t^{2} - 81 t + 2) (t - 6)}{(t - 6) (t - 9)} - (10 t + 3) \geq 0

шаг 4.Раскрываем числитель

Раскрываем три произведения числителя и собираем коэффициенты по степеням t. Старшие степени t³ и t² взаимно уничтожаются — остаётся линейное выражение.

(t^{2} - 3 t - 19) (t - 9) + (9 t^{2} - 81 t + 2) (t - 6) -

- (10 t + 3) (t - 6) (t - 9) =

= (t^{3} - 12 t^{2} + 8 t + 171) + (9 t^{3} - 135 t^{2} + 488 t - 12) -

- (10 t^{3} - 147 t^{2} + 495 t + 162) =

= (1 + 9 - 10) t^{3} + (- 12 - 135 + 147) t^{2} +

+ (8 + 488 - 495) t + (171 - 12 - 162) = t - 3

\frac{t - 3}{(t - 6) (t - 9)} \geq 0

Поразрядно: t³ → 1 + 9 − 10 = 0; t² → −12 − 135 + 147 = 0; t → 8 + 488 − 495 = 1; свободный → 171 − 12 − 162 = −3.

шаг 5.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 3 — закрашен (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: t = 6 и t = 9 — выколоты. Все интервалы решения лежат правее нуля, поэтому условие замены t > 0 выполнено автоматически и отдельная ось «t > 0» не нужна — рисуем одну прямую.

\frac{t - 3}{(t - 6) (t - 9)} \geq 0

Пробная точка t = 1: (1 − 3)/((1 − 6)(1 − 9)) = (−2)/40 < 0 → знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются.

шаг 6.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 3ˣ. Основание степени 3 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется.

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 3ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t ≥ 3 первого случая уже задаёт 3ˣ ≥ 3.

1) 3 \leq t < 6

3 \leq 3^{x} < 6

3^{1} \leq 3^{x} < 6

1 \leq x < \log_{3} 6

2) t > 9

3^{x} > 9

3^{x} > 3^{2}

x > 2

log₃6 ≈ 1,63.

ответ

x \in [1; \log_{3} 6) \cup (2; + \infty)