шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль.

Двойка — степень двойки: 2ˣ = 2 = 2¹ даёт x = 1 (приводим к одному основанию). Семёрка степенью двойки не является, поэтому 2ˣ = 7 решается логарифмом: x = log₂7.

шаг 2.Делаем замену

Показательная функция положительна, поэтому t > 0.

Свойство степеней: 2ˣ⁺⁴ = 2ˣ · 2⁴ = 16 · 2ˣ = 16t. В правой части 2ˣ⁺¹ = 2 · 2ˣ = 2t, поэтому 2ˣ⁺¹ − 14 = 2t − 14. Также 4ˣ = (2ˣ)² = t².

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим 2t − 14 влево и приводим всё к общему знаменателю (t − 2)(t − 7): первую дробь домножаем на (t − 7), вторую — на (t − 2), а 2t − 14 — на обе скобки.

шаг 4.Раскрываем числитель

Раскрываем три произведения числителя и собираем коэффициенты по степеням t. Старшие степени t³ и t² взаимно уничтожаются — остаётся линейное выражение.

Поразрядно: t³ → 1 + 1 − 2 = 0; t² → −23 − 9 + 32 = 0; t → 142 + 17 − 154 = 5; свободный → −210 − 6 + 196 = −20.

шаг 5.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 4 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: 2 и 7 — выколоты. На (−∞; 2) дробь отрицательна и формально проходит ≤ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 2) ∪ [4; 7).

Пробная точка t = 0: 5(0 − 4)/((0 − 2)(0 − 7)) = (−20)/14 < 0 → знак «−». Корни нечётной кратности — знаки чередуются.

шаг 6.Обратная замена

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 2ˣ положительна при любом x, поэтому нижняя граница t > 0 первого интервала (0; 2) выполняется автоматически — в случае 1 остаётся только 2ˣ < 2.

log₂7 ≈ 2,81.