Задача 10150625 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{4^{x} - 2^{x + 3} + 7}{4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4} \leq \frac{2^{x} - 9}{2^{x} - 4} + \frac{1}{2^{x} - 6}

шаг 1.Область допустимых значений

Знаменатели дробей не обращаются в нуль. Первый знаменатель раскладываем: 4ˣ − 5·2ˣ + 4 = (2ˣ − 1)(2ˣ − 4).

ОДЗ

{\begin{matrix} 4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 \neq 0 \\ 2^{x} - 4 \neq 0 \\ 2^{x} - 6 \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} 2^{x} \neq 1 \\ 2^{x} \neq 4 \\ 2^{x} \neq 6 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0 \\ x \neq 2 \\ x \neq \log_{2} 6 \end{matrix}

1 = 2⁰, поэтому 2ˣ = 1 даёт x = 0; 4 = 2², поэтому x = 2; 6 не является степенью двойки, поэтому 2ˣ = 6 решается логарифмом: x = log₂6.

шаг 2.Делаем замену и сводим к одной дроби

Пусть t = 2ˣ, t > 0, так как показательная функция всегда положительна. Левую дробь сокращаем, переносим всё влево и приводим к общему знаменателю.

t = 2^{x}, t > 0

4^{x} = t^{2}, 2^{x + 3} = 8 t

\frac{t^{2} - 8 t + 7}{t^{2} - 5 t + 4} \leq \frac{t - 9}{t - 4} + \frac{1}{t - 6}

\frac{(t - 1) (t - 7)}{(t - 1) (t - 4)} \leq \frac{t - 9}{t - 4} + \frac{1}{t - 6}

\frac{t - 7}{t - 4} \leq \frac{t - 9}{t - 4} + \frac{1}{t - 6}

\frac{t - 7}{t - 4} - \frac{t - 9}{t - 4} - \frac{1}{t - 6} \leq 0

\frac{2}{t - 4} - \frac{1}{t - 6} \leq 0

\frac{2 (t - 6) - (t - 4)}{(t - 4) (t - 6)} \leq 0

\frac{t - 8}{(t - 4) (t - 6)} \leq 0

По Виета: t² − 8t + 7 = (t − 1)(t − 7) (сумма 8, произведение 7), t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4) (сумма 5, произведение 4). Множитель (t − 1) сокращается; t = 1 (x = 0) уже исключено ОДЗ — корень не теряем.

шаг 3.Метод интервалов в t

Корень числителя: t = 8 — закрашен (нестрогое ≤). Точки разрыва знаменателя: t = 4, t = 6 — выколоты. Дополнительно t = 1 выколота по ОДЗ (сокращённый множитель). На (−∞; 4) дробь отрицательна и формально проходит ≤ 0, но условие замены t > 0 отсекает отрицательную полуось — после пересечения остаётся (0; 1) ∪ (1; 4) ∪ (6; 8].

Пробная точка t = 2: (2 − 8)/((2 − 4)(2 − 6)) = (−6)/8 < 0 → знак «−». Через выколотую t = 1 знак не меняется (множитель сокращён). Корни нечётной кратности — знаки чередуются.

шаг 4.Обратная замена

Возвращаемся к x, подставляя t = 2ˣ. Основание степени 2 > 1, показательная функция возрастает — знак неравенства сохраняется. Точка t = 1 (x = 0) выколота.

Условие t > 0 из замены отдельно не проверяем: t = 2ˣ положительна при любом x. Три промежутка по t дают три случая по x; выколотая t = 1 — это x = 0 между случаями 1 и 2.

1) 0 < 2^{x} < 1

2^{x} < 2^{0}

x < 0

2) 1 < 2^{x} < 4

2^{0} < 2^{x} < 2^{2}

0 < x < 2

3) 6 < 2^{x} \leq 8

6 < 2^{x} \leq 2^{3}

\log_{2} 6 < x \leq 3

log₂6 ≈ 2,58.

ответ

x \in (- \infty; 0) \cup (0; 2) \cup (\log_{2} 6; 3]